Bài tập Toán 9 Bài 4 (có đáp án): Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (d).

1. Lấy điểm A nằm giữa O và H, rồi vẽ đường tròn (O; OA). Khi đó, đường thẳng (d) không cắt đường tròn (O; OA) bởi R=OA<OH=d

2. Vẽ đường tròn (O; OH). Khi đầu đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O; OH) bởi R = OH = d

3. Lấy điểm B nằm trên tia đối của tia HO, rồi vẽ đường tròn (O; OB). Khi đó, đường thẳng (d) cắt đường tròn (O; OB) bởi R=OB>OH>d

Ta thực hiện theo các bước

Phân tích: Giả sử đã dựng được đường tròn (O; R) thỏa mãn điều kiện đầu bài. Hạ $OH\perp Ay$, ta có $OH=R\Rightarrow O$

thuộc đường thẳng (d) song song và cách Ax một khoảng bằng OH ((d)thuộc nửa mặt phẳng chứa Ax có bờ Ay).

Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện

Dựng tia Az qua A và vuông góc với Ax ( về phần mặt phẳng chứa Ay).

Trên Az lấy điểmsao cho A=R

Dựng đường thẳng (d) qua và song song với Ax cắt Ay ở O.

Dựng đường tròn (O; R).

Chứng minh: Trước hết theo cách dựng ta có (O; R) và O thuộc Ay, ta phải chứng minh (O; R) tiếp xúc với Ax.

Thật vậy, hạ $OH\perp Ax$ ta có

$OH=A{A}^{\text{'}}=R\iff (O;R)$ tiếp xúc với Ax

Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình

Ta thực hiện theo các bước.

Phân tích: Giả sử đã dựng đường tròn (O; R) thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Vì (O; R) tiếp xúc với Ax và Ay nên tâm O thuộc tia phân giác At của góc $\widehat{xAy}$

Hạ $OH\perp Ay$, ta có $OH=R\Rightarrow O$ thuộc đường thẳng (d) song song và cách Ax một khoảng bằng OH ((d) thuộc nửa mặt phẳng chứa Ax và Ay).

Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện.

• Dựng tia phân giác At của $\widehat{xAy}$
• Dựng tia Az qua A và vuông góc với Ax (về phần mặt phẳng chứa Ay).
• Trên Az lấy điểm A' sao cho AA'=R
• Dựng đường thẳng (d) qua A' và song song với Ax cắt At ở O.
• Dựng đường tròn (O; R).

Chứng minh: Trước hết theo cách dựng (O; R) vào O thuộc At, ta phải chứng minh (O; R) tiếp xúc với Ax và Ay.

Thật vậy, hạ $OH\perp Ax$, ta có $OH=A{A}^{\text{'}}=R\iff d(O;\text{Ax})=d(O;Oy)=R$$\iff (O;R)$ tiếp xúc với Ax và Ay.

Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình

Dựng đường thẳng (d) đi qua C và vuông góc với Ax, (d) cắt tia Ay tại O. Khi đó O là tâm đường tròn tiếp xúc với Ax tại C.

Dựng đường thẳng (d) qua A và vuông góc với Ay.

Dẫn đường thẳng (d') là đường trung trực của AB, (d') cắt (d) tại O. Khi đó đường tròn tâm O đi qua B và tiếp xúc với Ay tại A.

Dựng đường thẳng (d’) đi qua A và vuông góc với (d).

Dựng đường thẳng trung trực của AB cắt (d’) tại O. Khi đó đường tròn tâm O đi qua B và tiếp xúc với đường thẳng (d) tại A.