Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án

Lời giải đúng: $A=a+\frac{1}{a}=\frac{a}{4}+\frac{1}{a}+\frac{3a}{4}\ge 2\sqrt{\frac{a}{4}.\frac{1}{a}}+\frac{3a}{4}\ge 1+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}$

                Dấu “=” xảy ra    $\iff \frac{a}{4}=\frac{1}{a}\text{ hay }a=2$     

                 Vậy GTNN của A là $\frac{5}{2}$ .

Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức.

Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi $a=2$  . Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi ” $a=2$. Ta không thể áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số a và $\frac{1}{a}$  vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta phải tách a hoặc $\frac{1}{a}$  để khi áp dụng bất đẳng thức AM - GM thì thỏa quy tắc dấu “=”. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho cặp số $\left(\frac{a}{\alpha },\frac{1}{a}\right)$  sao cho tại “Điểm rơi ”$a=2$ thì $\frac{a}{\alpha }=\frac{1}{a}$ , ta có sơ đồ sau:   

$a=2\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{a}{\alpha }=\frac{2}{\alpha }\\ \frac{1}{a}=\frac{1}{2}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{2}{\alpha }=\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =4$

Khi đó:  $A=a+\frac{1}{a}=\frac{a}{4}+\frac{3a}{4}+\frac{1}{a}$và ta có lời giải như trên.

Ta có:            

   $\begin{array}{l}ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\le \frac{1}{4}\\ \Rightarrow -ab\ge -\frac{1}{4}\end{array}$

$A=16ab+\frac{1}{ab}-15ab\ge 2\sqrt{16ab\frac{1}{ab}}-15ab\ge 8-15.\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\iff ab=\frac{1}{4}\iff a=b=\frac{1}{2}$

Vậy GTNN của A là  $\frac{17}{4}$

Ta có:     $A=\frac{a^2}{24}+\frac{9}{a}+\frac{9}{a}+\frac{23a^2}{24}\ge 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{24}.\frac{9}{a}.\frac{9}{a}}+\frac{23a^2}{24}\ge \frac{9}{2}+\frac{23.36}{24}=39$

Dấu “=” xảy ra $\iff \frac{a^2}{24}=\frac{9}{a}\iff a=6$

Vậy GTNN của A là 39

Dấu “=” xảy ra $\iff a=2,b=3,c=4$

Vậy GTNN của A là  13

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

 $\begin{array}{l}\frac{a}{18}+\frac{b}{24}+\frac{2}{ab}\ge 3\sqrt[3]{\frac{a}{18}.\frac{b}{24}.\frac{2}{ab}}=\frac{1}{2}\\ \frac{a}{9}+\frac{c}{6}+\frac{2}{ca}\ge 3\sqrt[3]{\frac{a}{9}.\frac{c}{6}.\frac{2}{ca}}=1\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{b}{16}+\frac{c}{8}+\frac{2}{bc}\ge 3\sqrt[3]{\frac{b}{16}.\frac{c}{8}.\frac{2}{bc}}=\frac{3}{4}\\ \frac{a}{9}+\frac{c}{6}+\frac{b}{12}+\frac{8}{abc}\ge 4\sqrt[4]{\frac{a}{9}.\frac{c}{6}.\frac{b}{12}.\frac{8}{abc}}=\frac{4}{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{13a}{18}+\frac{13b}{24}\ge 2\sqrt[]{\frac{13a}{18}.\frac{13b}{24}}\ge 2\sqrt[]{\frac{13}{18}.\frac{13}{24}.12}=\frac{13}{3}\\ \frac{13b}{48}+\frac{13c}{24}\ge 2\sqrt[]{\frac{13b}{48}.\frac{13c}{24}}\ge 2\sqrt[]{\frac{13}{48}.\frac{13}{24}.8}=\frac{13}{4}\end{array}$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

 $\left(a+b+c\right)+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+\frac{8}{abc}\ge \frac{121}{12}$   (đpcm)