Lời giải đúng: $A = a + \frac{1}{a} = \frac{a}{4} + \frac{1}{a} + \frac{3 a}{4} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{4} . \frac{1}{a}} + \frac{3 a}{4} \geq 1 + \frac{3.2}{4} = \frac{5}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{4} = \frac{1}{a} hay a = 2$

Vậy GTNN của A là $\frac{5}{2}$ .

Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức.

Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi $a = 2$ . Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi ” $a = 2$ . Ta không thể áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số a và $\frac{1}{a}$ vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta phải tách a hoặc $\frac{1}{a}$ để khi áp dụng bất đẳng thức AM - GM thì thỏa quy tắc dấu “=”. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho cặp số $(\frac{a}{α}, \frac{1}{a})$ sao cho tại “Điểm rơi ” $a = 2$ thì $\frac{a}{α} = \frac{1}{a}$ , ta có sơ đồ sau:

$a = 2 \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{a}{α} = \frac{2}{α} \\ \frac{1}{a} = \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \frac{2}{α} = \frac{1}{2} \Rightarrow α = 4$

Khi đó: $A = a + \frac{1}{a} = \frac{a}{4} + \frac{3 a}{4} + \frac{1}{a}$ và ta có lời giải như trên.

Câu 2/5

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $a + b \leq 1$ . Tìm GTNN của $A = a b + \frac{1}{a b}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l} a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2} \leq \frac{1}{4} \\ \Rightarrow - a b \geq - \frac{1}{4} \end{array}$

$A = 16 a b + \frac{1}{a b} - 15 a b \geq 2 \sqrt{16 a b \frac{1}{a b}} - 15 a b \geq 8 - 15. \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a b = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$

Vậy GTNN của A là $\frac{17}{4}$

Câu 3/5

Cho số thực $a \geq 6$ . Tìm GTNN của $A = a^{2} + \frac{18}{a}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $A = \frac{a^{2}}{24} + \frac{9}{a} + \frac{9}{a} + \frac{23 a^{2}}{24} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a^{2}}{24} . \frac{9}{a} . \frac{9}{a}} + \frac{23 a^{2}}{24} \geq \frac{9}{2} + \frac{23.36}{24} = 39$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{24} = \frac{9}{a} \Leftrightarrow a = 6$

Vậy GTNN của A là 39

Câu 4/5

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa $a + 2 b + 3 c \geq 20$ .

Tìm GTNN của $A = a + b + c + \frac{3}{a} + \frac{9}{2 b} + \frac{4}{c}$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{matrix} A = (\frac{3 a}{4} + \frac{3}{a}) + (\frac{b}{2} + \frac{9}{2 b}) + (\frac{c}{4} + \frac{4}{c}) + \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + \frac{3 c}{4} \\ \geq 2 \sqrt{\frac{3 a}{4} . \frac{3}{a}} + 2 \sqrt{\frac{b}{2} . \frac{9}{2 b}} + 2 \sqrt{\frac{c}{4} . \frac{4}{c}} + \frac{a + 2 b + 3 c}{4} \\ \geq 3 + 3 + 2 + 5 = 13 \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = 2, b = 3, c = 4$

Vậy GTNN của A là 13

Câu 5/5

Cho3 số thực dương a, b, c thỏa $\{\begin{cases} a b \geq 12 \\ b c \geq 8 \end{cases}$ .
Chứng minh rằng: $(a + b + c) + 2 (\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) + \frac{8}{a b c} \geq \frac{121}{12}$

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

$\begin{array}{l} \frac{a}{18} + \frac{b}{24} + \frac{2}{a b} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a}{18} . \frac{b}{24} . \frac{2}{a b}} = \frac{1}{2} \\ \frac{a}{9} + \frac{c}{6} + \frac{2}{c a} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a}{9} . \frac{c}{6} . \frac{2}{c a}} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{b}{16} + \frac{c}{8} + \frac{2}{b c} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{b}{16} . \frac{c}{8} . \frac{2}{b c}} = \frac{3}{4} \\ \frac{a}{9} + \frac{c}{6} + \frac{b}{12} + \frac{8}{a b c} \geq 4 \sqrt[4]{\frac{a}{9} . \frac{c}{6} . \frac{b}{12} . \frac{8}{a b c}} = \frac{4}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{13 a}{18} + \frac{13 b}{24} \geq 2 \sqrt[]{\frac{13 a}{18} . \frac{13 b}{24}} \geq 2 \sqrt[]{\frac{13}{18} . \frac{13}{24} .12} = \frac{13}{3} \\ \frac{13 b}{48} + \frac{13 c}{24} \geq 2 \sqrt[]{\frac{13 b}{48} . \frac{13 c}{24}} \geq 2 \sqrt[]{\frac{13}{48} . \frac{13}{24} .8} = \frac{13}{4} \end{array}$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

$(a + b + c) + 2 (\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) + \frac{8}{a b c} \geq \frac{121}{12}$ (đpcm)

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

ĐGNL-ĐGTD

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Toán

Toán

Toán

Tiếng Việt

Tiếng Anh

Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án

🔥 Học sinh cũng đã học

Bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức lớp 9 (có lời giải)

Bài tập Chứng minh bất đẳng thức lớp 9 (có lời giải)

Bài tập So sánh các số lớp 9 (có lời giải)

Bài tập Viết bất đẳng thức diễn tả một khẳng định lớp 9 (có lời giải)

Bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn lớp 9 (có lời giải)

Bài tập Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu lớp 9 (có lời giải)

Bài tập Giải phương trình tích hoặc phương trình đưa được về dạng phương trình tích lớp 9 (có lời giải)

Bài tập Tìm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu lớp 9 (có lời giải)

Danh sách câu hỏi:

Cho số thực a≥2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A=a+1a Sai lầm thường gặp là:A=a+1a ≥2a.1a=2 . Vậy GTNN của A là 2. Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 ⇔a=1a ⇔a=1 vô lý vì theo giả thuyết thì a≥2 .

Cho 2 số thực dương a, b thỏa a+b≤1 . Tìm GTNN của A=ab+1ab

Cho số thực a≥6 . Tìm GTNN của A=a2+18a

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a+2b+3c≥20 . Tìm GTNN của A=a+b+c+3a+92b+4c

Cho3 số thực dương a, b, c thỏa ab≥12bc≥8 . Chứng minh rằng: a+b+c+21ab+1bc+1ca +8abc≥12112

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $a + b \leq 1$ . Tìm GTNN của $A = a b + \frac{1}{a b}$

Cho số thực $a \geq 6$ . Tìm GTNN của $A = a^{2} + \frac{18}{a}$

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa $a + 2 b + 3 c \geq 20$ .

Tìm GTNN của $A = a + b + c + \frac{3}{a} + \frac{9}{2 b} + \frac{4}{c}$

Cho3 số thực dương a, b, c thỏa $\{\begin{cases} a b \geq 12 \\ b c \geq 8 \end{cases}$ .
Chứng minh rằng: $(a + b + c) + 2 (\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) + \frac{8}{a b c} \geq \frac{121}{12}$