a) Gọi $\left(d\right)y=ax+b$ là hàm số cần tìm

Vì $A\left(-1;1\right);B\left(2;5\right)\in \left(d\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-a+b=1\\ 2a+b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{3}\\ b=\frac{7}{3}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(d\right):y=\frac{4}{3}x+\frac{7}{3}$

b) Hệ số góc $a=\frac{4}{3}$

a) Để (d) đi qua gốc tọa độ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m+1\ne 0\\ -2m+1=0\end{array}\right.\iff m=\frac{1}{2}$

b) Để (d) đi qua $A(3;4)\Rightarrow 4=\left(m+1\right).3-2m+1\iff m=0$

Học sinh tự vẽ đồ thị.

c) Ta có: $\left(d\right):y=x+1(d\text{'}):y=-2x+4$

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d') là:

$x+1=-2x+4\iff 3x=3\iff x=1\Rightarrow y=2$

Vậy A(1; 2) là tọa độ của (d) và (d')

$d)\left(d\text{'}\right):y=-2x+4$

Ta có: $\tan \beta =\frac{4}{2}=2\Rightarrow \alpha \approx {63}^0$

$\Rightarrow$góc $\alpha$ tạo bởi (d') với Ox là: $\alpha ={180}^0-{63}^0={117}^0$

a) $a=-2<0\Rightarrow y=-2x+3$ nghịch biến trên R

b) Học sinh tự vẽ

c) Ta có: $y=-2x+3M\left(a;b\right)\in \left(d\right)\Rightarrow -2a+3=b\Rightarrow 3=2a+b$

Ta có: 

$\begin{array}{l}\sqrt{a}\left(\sqrt{b}+1\right)=2\\ \iff 2\sqrt{a}\left(\sqrt{b}+1\right)=4\\ \iff 2\sqrt{ab}+2\sqrt{a}=3+1\\ \iff 2\sqrt{ab}+2\sqrt{a}=2a+b+1\\ \iff 2a+b+1-2\sqrt{ab}-2\sqrt{a}=0\\ \iff \left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(a-2\sqrt{a}+1\right)=0\\ \iff {\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2+{\left(\sqrt{a}-1\right)}^2=0\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\\ \sqrt{a}-1=0\end{array}\right.\Rightarrow a=b=1\end{array}$

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

MP = MQ và MO là tia phân giác của $\widehat{PMQ}$ nên $OM\perp PQ$ tại K

Ta có: $\Delta OKI~\Delta OHM$ (vì có $\widehat{KOI}$ chung)

$\Rightarrow \widehat{OKI}=\widehat{OHM}={90}^0\Rightarrow \frac{OK}{OH}=\frac{OI}{OM}\Rightarrow OH.OI=OK.OM$

Vì MP, MQ là các tiếp tuyến của (O) nên $OP\perp MP,OQ\perp MQ$

$\Delta OPM$ có PK là đường cao nên $OK.OM=O{P}^2=R^2$

Vậy $OI.OH=OK.OM=R^2$

b) Vì đường thẳng d cố định, đường tròn (O) cố định nên OH cố định và có độ dài không đổi , mà $OI.OH=R^2$ không đổi nên $OI=\frac{R^2}{OH}$không đổi

I ở trên tia OH cố định và có OI không đổi nên I cố định.

a) $\Delta BMC$ có $OM=OB=OC=\frac{BC}{2}=R\Rightarrow \Delta BMC$ vuông tại M (định lý đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

$\Rightarrow BM\perp MC\left(1\right),Cmtt\Rightarrow BN\perp NC\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra BN, CM là hai đường cao của tam giác $ABC\Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta ABC$$\Rightarrow AK\perp BC.$

b) $\Delta AMH$ vuông tại M, ME là đường trung tuyến $\Rightarrow AE=EM\Rightarrow \Delta AEM$ cân $\Rightarrow \widehat{AEM}=\widehat{EMA}\left(3\right)$ mà $\widehat{EMA}=\widehat{OCM}$ (cùng phụ với góc B) (4)

Và $\widehat{OCM}=\widehat{OMC}$ (tính chất tam giác cân ) (5)

Từ $\left(3\right),\left(4\right),\left(5\right)\Rightarrow \widehat{EMA}=\widehat{OMC}$ mà $\widehat{EMA}+\widehat{EMH}={90}^0$

$\Rightarrow \widehat{OMC}+\widehat{EMH}={90}^0\Rightarrow \widehat{EMO}={90}^0,M\in \left(O\right)$ $\Rightarrow$EM là tiếp tuyến của (O)

c) Vì $\sin \widehat{BAC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{BAC}={45}^0\Rightarrow \Delta AMC$ vuông cân tại M$\Rightarrow AM=MC$

Xét $\Delta AMH$ và $\Delta CMB$ có: $\widehat{MAH}=\widehat{MCB}$ (cùng phụ góc B); AM = CM

$\widehat{AMH}=\widehat{BMC}={90}^0\Rightarrow \Delta AMH=\Delta CMB\Rightarrow AH=BC$