Dạng 1. Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Vẽ đường cao AH.

Ta có $\frac{\text{HB}}{\text{HC}}=\frac{9}{16}\Rightarrow \frac{\text{HB}}{9}=\frac{\text{HC}}{16}=\frac{\text{HB}+\text{HC}}{9+16}=\frac{20}{25}$

Suy ra $\text{HB}=\frac{9.20}{25}=7,2$ (cm); $\text{HC}=\frac{16.20}{25}=12,8$   (cm)

Xét DABC vuông tại A, đường cao AH ta có:

$A{B}^2=BC.BH=20.7,2=144$ Þ AB = 12 (cm);

$A{C}^2=BC.CH=20.12,8=256$ Þ AC = 16 (cm).

Vậy diện tích DABC là $\text{S}=\frac{1}{2}\text{ABAC}=\frac{1}{2}\cdot 12.16=96$  (cm²).

Cách giải khác:

Sau khi tính được HB và HC, ta tính AH theo công thức: $A{H}^2=HB.HC$  (hệ thức 2).

$A{H}^2=7,2.12,8=92,16$ Þ AH = 9,6 (cm).

Diện tích DABC là $\text{S}=\frac{1}{2}\text{BCAH}=\frac{1}{2}\cdot 20.9,6=96$  (cm²).

Giả sử tam giác ABC có các cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao.

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=3^2+4^2=25\Rightarrow BC=5$ cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$B{A}^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{B{A}^2}{BC}\Rightarrow BH=\frac{3^2}{5}\Rightarrow BH=\frac{9}{5}$  (cm)

$C{A}^2=CH.CB\Rightarrow CH=\frac{C{A}^2}{CB}\Rightarrow CH=\frac{4^2}{5}\Rightarrow CH=\frac{16}{5}$ (cm)

$A{H}^2=HB.HC\Rightarrow A{H}^2=\frac{9}{5}.\frac{16}{5}\Rightarrow AH=\frac{12}{5}$ (cm)

(Có thể tính đường cao AH bởi công thức $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$ )

Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB cắt tia BO tại D.

Ta có    $\widehat{\text{D}}+\widehat{{\text{B}}_1}={90}^{°}$

mà $\widehat{{\text{B}}_1}=\widehat{{\text{B}}_2}$  nên  $\widehat{AOD}=\widehat{D}$

Do đó DAOD cân tại A. Suy ra $AD=AO=2\sqrt{3}$  (cm).

Vẽ AH ^ OD thì HO = HD.

Ta đặt $HO=HD=x$  thì  $BD=2x+2.$

Xét DABD vuông tại A, đường cao AH, ta có  $A{D}^2=BD.HD.$

Suy ra ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2=x(2x+2)$  Từ đó ta được phương trình:

$2x^2+2x–12=0$ Û (x – 2)(x + 3) = 0 Û x = 2 hoặc x = -3.

Giá trị x = 2 được chọn, giá trị x = -3 bị loại.

Do đó $BD=2+2+2=6$  (cm). Suy ra $AB=\sqrt{6^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$  (cm).

Ta có  $S_{ABH}=\frac{1}{2}AHBH=54$

Suy ra  $AH.BH=108$.                                              (1)

${\text{S}}_{\text{ACH}}=\frac{1}{2}\text{AH}.\text{CH}=96$ Suy ra  $AH.CH=192$.                                                       (2)

Từ (1) và (2) ta được:  $A{H}^2.BH.CH=\mathrm{108.192.}$

Mặt khác $A{H}^2=BH.CH$  (hệ thức 2). Suy ra $A{H}^4={12}^4$  Þ AH = 12 (cm).

Ta có $S_{ABC}=54+96=150$  (cm²) mà $S_{ABC}=\frac{1}{2}BCAH$  nên $\frac{1}{2}\text{BCAH}=150$

Suy ra $\text{BC}=\frac{150.2}{12}=25$  (cm).

Tìm cách giải

Đã biết đường chéo BD nên cần tìm đường chéo AC là có thể tính được diện tích hình thang. Muốn vậy phải tính OA và OC.

* Trình bày lời giải

· Xét DABD vuông tại A có AO ^ BD nên $O{A}^2=OB.OD$  (hệ thức 2).

Do đó $O{A}^2=5,4.15=81$ $\Rightarrow$ OA = 9 (cm).

· Xét DACD vuông tại D có OD ^ AC nên $O{D}^2=OA.OC$  (hệ thức 2).

$\Rightarrow \text{OC}=\frac{{\text{OD}}^2}{\text{OA}}=\frac{{15}^2}{9}=25$ (cm).

Do đó $AC=25+9=34$  (cm); $BD=5,4+15=20,4$  (cm).

Diện tích hình thang ABCD là: $\text{S}=\frac{\text{ACBD}}{2}=\frac{34.20,4}{2}=346,8$  (cm²).

Xét DADC có OM // CD nên $\frac{\text{OM}}{\text{CD}}=\frac{\text{AO}}{\text{AC}}$  (hệ quả của định lí Ta lét).  (1)

Xét DBDC có ON // CD nên $\frac{\text{ON}}{\text{CD}}=\frac{\text{BN}}{\text{BC}}$  (hệ quả của định lí Ta-lét).   (2)

Xét DABC có ON // AB nên $\frac{AO}{AC}=\frac{BN}{BC}$  (định lí Ta-lét).      (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra  $\frac{\text{OM}}{\text{CD}}=\frac{\text{ON}}{\text{CD}}$

Do đó OM = ON.

Xét DAOD vuông tại O, OM ^ AD nên $\frac{1}{{\text{OM}}^2}=\frac{1}{{\text{OA}}^2}+\frac{1}{{\text{OD}}^2}$  (hệ thức 4).

Do đó $\frac{1}{{\text{OM}}^2}=\frac{1}{9^2}+\frac{1}{{15}^2}\Rightarrow \text{OM}\approx 7,7$  (cm).

Suy ra $MN\approx 7,7.2=15,4$  (cm).