Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK. Chứng minh rằng : $\frac{1}{B{K}^2}=\frac{1}{B{C}^2}+\frac{1}{4A{H}^2}$

*Cách 1: Ta có $\Delta ABC$  vuông tại A nên :

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\left(cm\right)$ (Định lý Pytago)

$\Delta ABC$ vuông tại A, AH $\perp$BC, nên  $AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\frac{{\displaystyle AB.AC}}{{\displaystyle BC}}=4,8\left(cm\right)$

*Cách 2: $\Delta ABC$  vuông tại A, AH $\perp$BC, nên: $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}\Rightarrow A{H}^2=\frac{A{B}^2.A{C}^2}{A{B}^2+A{C}^2}\Rightarrow AH=\sqrt{\frac{64.36}{100}}=4.8\left(cm\right)$

*Cách 3: Tam giác ABC vuông tại A, Theo định lý Pytago ta có

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=8^2+6^2=100$ nên suy ra BC=10cm.

$\Delta ABC$ vuông tại A nên: $BH.BC=A{B}^2\Rightarrow BH=\frac{A{B}^2}{BC}=6.4\left(cm\right)$ . Mà $HC=BC-BH=3,6$  (cm)

$\Delta ABC$ vuông tại A, AH $\perp$BC, nên: $A{H}^2=BH.HC={4.8}^2\Rightarrow AH=4.8\left(cm\right)$

*Cách 4:  

Gọi M là trung điểm BC.

Ta có : $BM=AM=\frac{1}{2}BC=5cm$

+ Tính được BH=6.4cm

+ Nên $MH=BH-BM=6,4-5=1\left(cm\right)$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta HAM$  vuông tại H: $AH=\sqrt{A{M}^2-M{H}^2}=\sqrt{5^2-1,4^2}=4,8\left(cm\right)$

Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB cắt tia BO tại D.

Ta có    $\widehat{\text{D}}+\widehat{{\text{B}}_1}={90}^{°}$

mà $\widehat{{\text{B}}_1}=\widehat{{\text{B}}_2}$  nên  $\widehat{AOD}=\widehat{D}$

Do đó DAOD cân tại A. Suy ra $AD=AO=2\sqrt{3}$  (cm).

Vẽ AH ^ OD thì HO = HD.

Ta đặt $HO=HD=x$  thì  $BD=2x+2.$

Xét DABD vuông tại A, đường cao AH, ta có  $A{D}^2=BD.HD.$

Suy ra ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2=x(2x+2)$  Từ đó ta được phương trình:

$2x^2+2x–12=0$ Û (x – 2)(x + 3) = 0 Û x = 2 hoặc x = -3.

Giá trị x = 2 được chọn, giá trị x = -3 bị loại.

Do đó $BD=2+2+2=6$  (cm). Suy ra $AB=\sqrt{6^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$  (cm).