a)

Xét  $\Delta ABM$ và $\Delta NBM$ .

Ta có: AB là đư­ờng kính của đ­ường tròn (O)

nên : $\widehat{AMB}=\widehat{NMB}={90}^o$.

M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC

nên $\widehat{ABM}=\widehat{MBN}$  . Tam giác ABN có MB vừa là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên  => $\Delta BAN$  cân đỉnh B.

. Tứ giác AMCB nội tiếp.

=> $\widehat{BAM}=\widehat{MCN}$  ( cùng bù với  $\widehat{MCB}$).

=> $\widehat{MCN}=\widehat{MNC}$  ( cùng bằng $\widehat{BAM}$  ).

=> Tam giác MCN cân đỉnh M

a/

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{MAO}=90°\\ \widehat{MBO}=90°\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{MAO}+\widehat{MBO}=180°$

$\Rightarrow$Tứ giác $MAOB$  nội tiếp

b/ Ta có: $\widehat{AMD}$  chung

$\widehat{MAC}=\widehat{MDA}$ (cùng chắn cung AC)

$\Rightarrow \Delta MAC$ đồng dạng $\Delta MDA$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}\\ \Rightarrow M{A}^2=MC.MD\end{array}$

c/ Ta có: $OA=OB$

$\Rightarrow \Delta AOB$ cân tại O

Mà OH là đường phân giác nên cũng là đường cao

$\Rightarrow OH\perp AB$

$\Rightarrow O{A}^2=OH.OM$

Ta lại có: $M{A}^2=MC.MD$

$O{M}^2=M{A}^2+O{A}^2$

$\Rightarrow O{M}^2=MC.MD+OH.OM$

d/ Từ $MH.OM=M{A}^2,MC.MD=M{A}^2$

 $\Rightarrow MH.OM=MC.MD$$\Rightarrow \frac{MH}{MD}=\frac{MC}{MO}$    (*)

Xét $\Delta MHCvà\Delta MDO$  có:

$\frac{MH}{MD}=\frac{MC}{MO}$ và$\widehat{DMO}$  chung

$\Rightarrow ∆MHC$ đồng dạng      $\Rightarrow MDO$ $\Rightarrow \frac{MC}{MO}=\frac{MH}{\text{M}D}=\frac{HC}{DO}\Rightarrow \frac{MC}{CH}=\frac{MO}{\text{OD}}\Rightarrow \frac{MC}{CH}=\frac{MO}{OA}$(1)

Ta lại có $\widehat{MAI}=\widehat{IAH}$  (cùng chắn hai cung bằng nhau)$\Rightarrow AI$    là phân giác của $\widehat{MAH}$ .

Theo t/c đường phân giác của tam giác, ta có: $\frac{MI}{IH}=\frac{MA}{\text{A}H}$  (2)

$∆MHA$ và $∆MAO$  có  chung  và $\widehat{MHA}=\widehat{MAO}={90}^0$  do đó đồng dạng (g.g)  $\Rightarrow \frac{MO}{\text{O}A}=\frac{MA}{\text{A}H}$  (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra$\frac{MC}{CH}=\frac{MI}{IH}$  suy ra CI   là tia phân giác của góc $\widehat{MCH}$ .