$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} - (m + 1) (m - 2) \geq 0 \\ \Leftrightarrow m^{2} + 2 m + 1 - m^{2} + m + 2 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq - 1 \end{array}$

Kết hợp với điều kiện trên $\Rightarrow m > - 1,$ khi đó, áp dụng Vi et :

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{2 (m + 1)}{m + 1} = 2 \\ x_{1} x_{2} = \frac{m - 2}{m + 1} \end{cases}$ . Ta có:

$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{3}{2}$

$h a y \frac{2}{\frac{m - 2}{m + 1}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{3 m - 6}{m + 1} = 4 \Leftrightarrow 3 m - 6 = 4 m + 4 \Leftrightarrow m = - 10 (k t m)$

Vậy không có m thỏa đề.

Câu 2/20

Cho phương trình : $m x^{2} - (2 m + 3) x + m - 4 = 0$

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Xem đáp án

Lời giải

$m x^{2} - (2 m + 3) x + m - 4 = 0 (2)$

$Δ = {(2 m + 3)}^{2} - 4 m (m - 4) = 24 m + 9$

Để phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow Δ > 0 \Leftrightarrow 24 m + 9 > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{3}{8}

Câu 3/20

Cho phương trình : $m x^{2} - (2 m + 3) x + m - 4 = 0$

Tìm hệ thức độc lập không phụ thuộc tham số m

Xem đáp án

Lời giải

$m x^{2} - (2 m + 3) x + m - 4 = 0 (2)$

Khi đó áp dụng Vi – et $\Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{2 m + 3}{m} (a) \\ x_{1} x_{2} = m - 4 (b) \end{cases}$

$(b) \Rightarrow m = x_{1} x_{2} + 4$ . Thay (b) vào (a) ta được :

$x_{1} + x_{2} = \frac{2 x_{1} x_{2} + 8 + 3}{x_{1} x_{2} + 4} \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = \frac{2 x_{1} x_{2} + 11}{x_{1} x_{2} + 4}$

Đây là phương trình độc lập với m

Câu 4/20

Cho parabol $(P) : y = - x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = m x - 2$ (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $(x_{1} + 2) (x_{2} + 2) = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có phương trình hoành độ giao điểm :

$- x^{2} = m x - 2 \Leftrightarrow x^{2} + m x - 2 = 0$

$Δ = m^{2} + 8 > 0$ (với mọi m) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng định lý Vi – et $\Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - m \\ x_{1} x_{2} = - 2 \end{cases}$

Ta có:

\begin{array}{l} (x_{1} + 2) (x_{2} + 2) + 4 = 0 \Leftrightarrow x_{1} x_{2} + 2 (x_{1} + x_{2}) + 4 = 0 \\ h a y - 2 + 2 (- m) + 4 = 0 \Leftrightarrow m = 1 \end{array}

Câu 5/20

Cho phương trình $m x^{2} - 2 (m + 1) x + 4 m = 0$ (m là tham số, $m \neq 0)$

Tìm m để phương trình có nghiệm kép

Xem đáp án

Lời giải

$m x^{2} - 2 (m + 1) x + 4 m = 0 (m \neq 0)$

$Δ' = {(m + 1)}^{2} - m .4 m = - 3 m^{2} + 2 m + 1$

Để phương trình có nghiệm kép

\Leftrightarrow Δ' = 0 \Leftrightarrow - 3 m^{2} + 2 m + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - \frac{1}{3} \end{array}

Câu 6/20

Cho phương trình $m x^{2} - 2 (m + 1) x + 4 m = 0$ (m là tham số, $m \neq 0)$

Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 17 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$m x^{2} - 2 (m + 1) x + 4 m = 0 (m \neq 0)$

Để phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow Δ' \geq 0 \Leftrightarrow - 3 m^{2} + 2 m + 1 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{- 1}{3} \leq m \leq 1$ và $m \neq 0$

Áp dụng định lý Viet $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{2 m + 1}{m} \\ x_{1} x_{2} = 4 \end{cases}$ . Ta có:

$\begin{array}{l} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 17 = 0 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 17 = 0 \\ h a y \frac{{(2 m + 1)}^{2}}{m^{2}} - 8 - 17 = 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} + 4 m + = 25 m^{2} \\ \Leftrightarrow - 21 m^{2} + 4 m + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{1}{3} \\ m = - \frac{1}{7} \end{array} (t m) \end{array}$

Vậy $m \in \{\frac{1}{3}; - \frac{1}{7}\}$ thì thỏa đề .

Câu 7/20

Cho phương trình $x^{2} - (m + 3) x - 2 m^{2} + 2 = 0 (m$ là tham số)
Tìm các giá trị của m để hệ thức $3 x_{1} + 2 x_{2} = 8$

Xem đáp án

Lời giải

$x^{2} - (m + 3) x - 2 m^{2} + 2 = 0$

$\begin{array}{l} Δ = {(m + 3)}^{2} - 4.1. (- 2 m^{2} + 2) = m^{2} + 6 m + 9 + 8 m^{2} - 8 \\ = 9 m^{2} + 6 m + 1 = {(3 m + 1)}^{2} \geq 0 (v o i m o i m) \end{array}$

Nên phương trình luôn có nghiệm . Áp dụng Vi – et :

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m + 3 \\ x_{1} x_{2} = 2 - 2 m^{2} \end{cases}$

kết hợp với

3 x_{1} + 2 x_{2} = 8

. Ta có:

\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m + 3 \\ 3 x_{1} + 2 x_{2} = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = 2 - 2 m \\ x_{2} = 3 m + 1 \end{cases}

Thay vào $x_{1} x_{2} = 2 - 2 m^{2}$ ta được:

$\begin{array}{l} (2 - 2 m) (3 m + 1) = 2 - 2 m^{2} \\ \Leftrightarrow - 6 m^{2} + 4 m + 2 - 2 + 2 m^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow - 4 m^{2} + 4 m = 0 \Leftrightarrow 4 m (1 - m) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 1 \end{array} \end{array}$

Vậy m = 0, m = 1 thỏa đề.

Câu 8/20

Cho phương trình $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + m - 6 = 0$ (m là tham số)

Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Xem đáp án

Lời giải

$x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + m - 6 = 0$

$Δ = {(2 m + 1)}^{2} - 4 (m^{2} + m - 6) = 25 > 0$

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Câu 9/20