Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Tự luận

a) Ta có bảng giá trị của \[y\] tương ứng với giá trị của \[x\] trong bảng như sau:

Do đó, đồ thị hàm số \[y = {x^2}\] đi qua các điểm có tọa độ \[\left( { - 2;4} \right)\]; \[\left( { - 1;1} \right)\]; \[\left( {0;0} \right)\]; \[\left( {1;1} \right)\]; \[\left( {2;4} \right)\].

Từ đây, ta có đồ thị hàm số \[y = {x^2}\] như sau:

b) Ta có: \[{x^2} = 16\] suy ra \[x = 4\] hoặc \[x = - 4\].

Do đó, các điểm trên parabol có tung độ \[16\] là \[\left( {4;16} \right)\] và \[\left( { - 4;16} \right)\].

c) Gọi \[A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là điểm thuộc \[\left( P \right)\] cách đều hai trục tọa độ.

Ta có: \[d\left( {A;Ox} \right) = \left| {{y_0}} \right| = x_0^2\]; \[d\left( {A;Oy} \right) = \left| {{x_0}} \right|\]. Theo giả thiết thì ta có: \[x_0^2 = \left| {{x_0}} \right|\]

Suy ra \[\left| {{x_0}} \right| = 0\] (loại do khác gốc tọa độ) hoặc \[\left| {{x_0}} \right| = 1\].

Suy ra \[{x_0} = 1\] hoặc \[{x_0} = - 1\].

Vậy \[A\left( {1;1} \right)\] hoặc \[A\left( { - 1;1} \right)\] là các điểm trên parabol cách đều hai trục tọa độ.

a) Thay \[x = 1\], \[y = - 2\] vào \[\left( P \right)\], ta được: \[a = - 2\].

Vậy \[\left( P \right):y = - 2{x^2}\].

b) Ta có bảng giá trị của \[y\] tương ứng với giá trị của \[x\] trong bảng như sau:

Do đó, đồ thị hàm số \[y = - 2{x^2}\] đi qua các điểm có tọa độ \[\left( { - 2; - 8} \right)\]; \[\left( { - 1; - 2} \right)\]; \[\left( {0;0} \right)\]; \[\left( {1; - 2} \right)\]; \[\left( {2; - 8} \right)\].

Từ đây, ta có đồ thị của hàm số \[y = - 2{x^2}\] như sau:

c) Thay \[x = 2\] vào \[\left( P \right)\], ta được: \[y = - {2.2^2} = - 8\].

Vậy điểm thuộc \[\left( P \right)\] có hoành độ bằng \[2\] là \[\left( {2; - 8} \right)\].

1. Thay \[x = - 1,y = 2\] vào hàm số \[y = a{x^2}\], ta được: \[2 = a.{\left( { - 1} \right)^2}\] suy ra \[a = 2\].

Do đó, ta có hàm số \[y = 2{x^2}\].

2.

a) Ta có bảng giá trị của \[y\] tương ứng với giá trị của \[x\] trong bảng như sau:

Do đó, đồ thị hàm số \[y = 2{x^2}\] đi qua các điểm có tọa độ \[\left( { - 2;8} \right)\]; \[\left( { - 1;2} \right)\]; \[\left( {0;0} \right)\]; \[\left( {1;2} \right);\]\[\left( {2;8} \right)\].

Từ đây, ta có đồ thị của hàm số \[y = 2{x^2}\] như sau:

c) Gọi \[A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là điểm thuộc đồ thị hàm số \[y = 2{x^2}\] cách đều hai trục tọa độ.

Ta có: \[d\left( {A;Ox} \right) = \left| {{y_0}} \right| = 2x_0^2\]; \[d\left( {A;Oy} \right) = \left| {{x_0}} \right|\]. Theo giả thiết thì ta có: \[2x_0^2 = \left| {{x_0}} \right|\]

Suy ra \[\left| {{x_0}} \right| = 0\] hoặc \[\left| {{x_0}} \right| = \frac{1}{2}\].

Suy ra \[{x_0} = \frac{1}{2}\] hoặc \[{x_0} = - \frac{1}{2}\]; \[{x_0} = 0\]

Vậy \[A\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\];\[A\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\]; \[A\left( {0;0} \right)\] là các điểm trên parabol cách đều hai trục tọa độ.

a) Thay \[x = \frac{1}{2},y = 2\] vào hàm số \[y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2}\], ta được:

\[\left( {{m^2} - 1} \right){\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 2\] suy ra \[{m^2} - 1 = 8\] nên \[{m^2} = 9\], do đó \[m = 3\] hoặc \[m = - 3\].

b) Ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 3\\2x + y = 1\end{array} \right.\].

Từ phương trình \[2x + y = 1\] ta được \[y = 1 - 2x\].

Thay \[y = 1 - 2x\] vào phương trình \[3x + 2y = 3\], ta có: \[3x + 2\left( {1 - 2x} \right) = 3\], do đó \[x = - 1.\]

Với \[x = - 1\] thì \[y = 3\].

Do đó, \[\left( {{x_0};{y_0}} \right) = \left( { - 1;3} \right)\].

Thay \[x = - 1\], \[y = 3\] vào hàm số \[y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2}\], ta được: \[\left( {{m^2} - 1} \right).{\left( { - 1} \right)^2} = 3\],

suy ra \[{m^2} - 1 = 3\] hay \[{m^2} = 4\].

Do đó, \[m = 2\] hoặc \[m = - 2\].

c) • Với \[m = 2\] và \[m = - 2\] thì ta có hàm số \[y = 3{x^2}\].

Ta có bảng giá trị của \[y\] tương ứng với giá trị của \[x\] trong bảng như sau:

• Với \[m = 3\] và \[m = - 3\] thì ta có hàm số \[y = 8{x^2}\].

Ta có bảng giá trị của \[y\] tương ứng với giá trị của \[x\] trong bảng như sau:

Do đó, ta có đồ thị hai hàm số \[y = 3{x^2}\], \[y = 8{x^2}\] được biểu diễn như sau:

a) Thay \[x = 2,y = 4\] vào hàm số \[y = a{x^2}\], ta được: \[a.{\left( 2 \right)^2} = 4\] suy ra \[a = 1\].

Vậy hàm số đó là \[y = {x^2}\].

Ta có bảng giá trị của \[y\] tương ứng với giá trị của \[x\] trong bảng như sau:

Do đó, đồ thị hàm số \[y = {x^2}\] đi qua các điểm có tọa độ \[\left( { - 2;4} \right)\]; \[\left( { - 1;1} \right)\]; \[\left( {0;0} \right)\]; \[\left( {1;1} \right)\]; \[\left( {2;4} \right)\].

Từ đây, ta có đồ thị hàm số \[y = {x^2}\] như sau:

b) Thay \[y = 8\] vào hàm số \[y = {x^2}\] được \[{x^2} = 8\], suy ra \[x = 2\sqrt 2 \] hoặc \[x = - 2\sqrt 2 \].

Vậy các điểm có tọa độ \[\left( {2\sqrt 2 ;8} \right)\] và \[\left( { - 2\sqrt 2 ;8} \right)\].

c) Thay \[x = m,y = {m^3}\] vào hàm số \[y = {x^2}\], ta được:

\[{m^2} = {m^3}\], suy ra \[{m^3} - {m^2} = 0\] hay \[{m^2}\left( {m - 1} \right) = 0\] suy ra \[m = 0\] hoặc \[m = 1\].

d) Gọi \[A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là điểm thuộc đồ thị hàm số \[y = {x^2}\] cách đều hai trục tọa độ.

Ta có: \[d\left( {A;Ox} \right) = \left| {{y_0}} \right| = x_0^2\]; \[d\left( {A;Oy} \right) = \left| {{x_0}} \right|\]. Theo giả thiết thì ta có: \[x_0^2 = \left| {{x_0}} \right|\]

Suy ra \[\left| {{x_0}} \right| = 0\] (loại do khác gốc tọa độ) hoặc \[\left| {{x_0}} \right| = 1\].

Suy ra \[{x_0} = 1\] hoặc \[{x_0} = - 1\].

Do đó, các điểm có tọa độ \[\left( {1;1} \right)\] và \[\left( { - 1;1} \right)\] cách đều các trục tọa độ.

a) Nếu mất \[3{\rm{s}}\] để hòn đá chạm đáy thì độ sâu của hang là \[h = 4,{9.3^2} = 44,1{\rm{ m}}\].

b) Nếu hang sâu \[122,5{\rm{ m}}\] thì thời gian để hòn đá chạm đáy là:

\[4,9{t^2} = 122,5\], suy ra \[{t^2} = 25\] do đó \[t = 5{\rm{s}}\] \[\left( {t > 0} \right)\].

a) • Tìm hàm số \[y = a{x^2}\].

Theo đề bài, ta có: hàm số \[y = a{x^2}\] đi qua điểm có tọa độ là \[\left( {200;75} \right)\] và \[\left( { - 200;75} \right)\].

Do đó, thay \[x = 200,y = 75\] vào hàm số \[y = a{x^2}\], ta được:

\[75 = a{.200^2}\] suy ra \[a = \frac{3}{{1600}}\].

Vậy hàm số đó là \[y = \frac{3}{{1600}}{x^2}\].

Để tính được chiều cao của \[CH\], ta thay \[x = 100\] vào hàm số \[y = \frac{3}{{1600}}{x^2}\], ta được:

\[y = \frac{3}{{1600}}{.100^2} = \frac{{75}}{4} = 18,75{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy độ dài đoạn \[CH = 18,75{\rm{ m}}\].

b) Ta có tọa độ điểm \[M( - {x_0};27)\] và \[N({x_0};27)\].

Thay \[y = 27\] vào hàm số \[y = \frac{3}{{1600}}{x^2}\], ta được:

\[27 = \frac{3}{{1600}}{x^2}\] suy ra \[{x^2} = 14400\] suy ra \[x = 120\] và \[x = - 120\].

Do đó, tọa độ điểm \[M( - 120;27)\], \[N(120;27)\].

Có khoảng cách từ \[M\] lần lượt đến tâm \[O\] bằng khoảng cách từ \[N\] lần lượt đến tâm \[O\] hay \[MO = ON\].

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \[EOM\], có:

\[O{E^2} + E{M^2} = O{M^2}\] hay \[{27^2} + {120^2} = O{M^2}\] suy ra \[OM = 123{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Do đó, khoảng cách hai điểm \[M,N\] lần lượt đến tâm \[O\] là \[123{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Gọi tọa độ của \[A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\] và \[B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\].

Ta có \[AB = 8{\rm{ m}}\] và có \[C\] là trung điểm của \[AB\].

Do đó, \[AC = BC = \frac{{AB}}{2} = 4{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]

Có \[A\] và \[B\] nằm về hai phái của trục tung nên suy ra \[{x_A} = - 4\] và \[{x_B} = 4\].

Mà độ cao \[OC = 4{\rm{ m}}\] suy ra \[{y_A} = {y_B} = 4\].

Suy ra \[A\left( { - 4;4} \right)\] và \[B\left( {4;4} \right)\].

Thay \[x = 4,y = 4\] vào hàm số \[y = a{x^2}\] ta được:

\[4 = a{.4^2}\] suy ra \[a = \frac{1}{4}\].

Vậy ta có \[y = \frac{1}{4}{x^2}\].

b) Ta có bảng giá trị của \[y\] tương ứng với giá trị của \[x\] trong bảng như sau:

Do đó, đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2}}}{4}\] đi qua các điểm có tọa độ \[\left( { - 2;1} \right)\]; \[\left( { - 1;\frac{1}{4}} \right)\]; \[\left( {0;0} \right)\]; \[\left( {1;\frac{1}{4}} \right);\]

\[\left( {2;1} \right)\].

Vậy ta có đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2}}}{4}\] như sau: