Bài tập cuối chương 4 lớp 9 (có lời giải)

Vẽ \(AH \bot CD\) và \(BK \bot CD\), dễ thấy \(AHKB\) là hình chữ nhật.

Do đó \(AH = BK\) và \(AB = HK\).

Xét \(\Delta ADH\) vuông tại \(H\), ta có

$DH=AD\cdot \cos \widehat{ADH}=6\cdot \cos {50}^{°}\approx 4,6( \text{cm}).$

Tương tự, xét \(\Delta BKC\) vuông tại \(K\), ta có $KC=BK\cdot \cot \widehat{BCK}=4,6\cdot \cot {36}^{°}\approx 6,3( \text{cm})$

và $BC=\frac{BK}{\sin \widehat{KCB}}=\frac{4,6}{\sin {36}^{°}}\approx 7,8( \text{cm})$

Ta có \(DC = DH + HK + KC = 3,9 + 4 + 6,3 \approx 14,2(\;{\rm{cm}})\).

Do đó chu vi của hình thang là \(4 + 7,8 + 14,2 + 614,2 \approx 32(\;{\rm{cm}})\).

a) Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(ABC\), ta có

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25{\rm{ suy ra }}\\BC = 5(\;{\rm{cm}}).\end{array}\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\), ta có

\(AH \cdot BC = AB \cdot AC \Leftrightarrow AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}}\)

suy ra \(AH = \frac{{3 \cdot 4}}{5} = 2,4(\;{\rm{cm}})\).

Dễ thấy \(AMHN\) là hình chữ nhật nên \(MN = AH\) nên \(MN = 2,4\;{\rm{cm}}\).

b) Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có \(A{H^2} = AM \cdot AB \Leftrightarrow AM = \frac{{A{H^2}}}{{AB}} = \frac{{{{2,4}^2}}}{4} = 1,44(\;{\rm{cm}})\).

Ta xét \(\Delta AMN\) vuông tại \(A\), ta có $\tan \widehat{AMN}=\frac{AN}{AM}=\frac{1,44}{1,92}\approx \tan {36}^{°}{52}^{\text{'}}$

Do đó $\widehat{AMN}={36}^{°}{52}^{\text{'}}$

Mà  $\widehat{ANM}={90}^{°}=\widehat{AMN}={90}^{°}-{36}^{°}{52}^{\text{'}}={53}^{°}{8}^{\text{'}}$

c) Gọi \(S\) là diện tích tứ giác\(BMNC\).

Ta có \(S = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC - \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1,92 \cdot 1,44 \approx 4,6\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Vậy diện tích tứ giác \(BMNC\) là \(4,6\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

Lời giải

Hình vẽ minh họa Câu toán:

Ta có:

\(\begin{array}{l}AK = CH\\ \Rightarrow AD + DK = CH\\ \Rightarrow AD = CH - DK = 2,1 - 1 = 1,6m\end{array}\)

Mà:

\(\begin{array}{l}AB + AD = BD\\ \Rightarrow AB = BD - AD = 8,1 - 1,6 = 6,5m\end{array}\)

Xét vuông tại \(A\), ta có:

\({\mathop{\rm sinC}\nolimits}  = \frac{{AB}}{{BC}}\) ( tỷ số lượng giác của góc nhọn)

\[ \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{6,5}}{{\sin {{40}^0}}} \approx 10,1m\].

Vậy cần cẩu phải dài 10,1 m.

Hình vẽ minh họa Câu toán

a) Vì các góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bằng nhau nên góc B bằng góc B’

\[ \Rightarrow \tan B = \tan B' = \frac{{A'C'}}{{A'B'}} = \frac{{15}}{{2,64}}\] (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

\[ \Rightarrow B = B' \approx {80^o}\]

Vậy góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là \[{80^o}\]

b) Ta có: \[\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}\]

\[ \Rightarrow AC = AB.tanB = 47,3.\frac{{15}}{{2,64}} \approx 268,8m\]

Vậy chiều cao của tòa nhà là 268,8m

Hình vẽ minh họa Câu toán:

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\), ta có

\(\tan ADB = \frac{{AB}}{{AD}}\) (tỉ số lượng giác của hai góc nhọn)

\(AD = \frac{{AB}}{{\tan ADB}} = \frac{{AB}}{{\tan {{40}^{\rm{o}}}}}\,m\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có

\(\tan ACB = \frac{{AB}}{{AC}}\) (tỉ số lượng giác của hai góc nhọn)

\(AC = \frac{{AB}}{{\tan ACB}} = \frac{{AB}}{{\tan {{30}^{\rm{o}}}}}\,m\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \(AD + DC = AC\)(vì \(D\)thuộc \(AC\))

\[\frac{{AB}}{{\tan 40^\circ }} + 89 = \frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }}\]

\(\frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }} - \frac{{AB}}{{\tan 40^\circ }} = 89\)

\[\frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }}\left( {\frac{1}{{\tan 30^\circ }} - \frac{1}{{\tan 40^\circ }}} \right) = 89\]

\(AB = \frac{{89}}{{\frac{1}{{\tan 30^\circ }} - \frac{1}{{\tan 40^\circ }}}}\)

Do đó \(AB \approx 164,7\,m\)