Đề thi giữa kì 2 Toán 9 (Tự luận) có đáp án - Đề 1

1. a) Xét các phương trình trên, ta có các phương trình bậc hai một ẩn là:

\(2{x^2} - 5x - 3 = 0\) và \({x^2} - 7x + 4 = 0.\)

• Với phương trình \(2{x^2} - 5x - 3 = 0\), ta có: \(a = 2;b =  - 5;c =  - 3\).

• Với phương trình \({x^2} - 7x + 4 = 0\), ta có: \(a = 1;b =  - 7;c = 4.\)

b) Giải phương trình \(2{x^2} - 5x - 3 = 0\), ta có: \(\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.\left( { - 3} \right) = 49 > 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\({x_1} = \frac{{5 + \sqrt {49} }}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\) và \({x_2} = \frac{{5 - \sqrt {49} }}{4} = \frac{{ - 2}}{4} =  - \frac{1}{2}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 5x - 3 = 0\) là: \(\left\{ { - \frac{1}{2};3} \right\}.\)

Giải phương trình \({x^2} - 7x + 4 = 0\), ta có: \(\Delta  = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.4 = 33 > 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\({x_1} = \frac{{7 + \sqrt {33} }}{2}\) và \({x_2} = \frac{{7 - \sqrt {33} }}{2}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình \({x^2} - 7x + 4 = 0\) là \(\left\{ {\frac{{7 + \sqrt {33} }}{2};\frac{{7 - \sqrt {33} }}{2}} \right\}\).

2. Gọi \(x\) (g/cm3) là khối lượng riêng của chất lỏng I \(\left( {x > 0,2} \right).\)

Khi đó, khối lượng riêng của chất lỏng II là \(x - 0,2\) (g/cm3).

Thể tích của chất lỏng I là: \(\frac{8}{x}\) (cm3).

Thể tích của chất lỏng II là: \(\frac{6}{{x - 0,2}}\) (cm3).

Khối lượng hỗn hợp sau khi trộn là: \(8 + 6 = 14\) (g).

Thể tích của hỗn hợp sau khi trộn là: \(\frac{{14}}{{0,7}} = 20\) (cm3).

Ta có phương trình: \(\frac{8}{x} + \frac{6}{{x - 0,2}} = 20\).

Giải phương trình:

\(\frac{8}{x} + \frac{6}{{x - 0,2}} = 20\)

\(\frac{{8\left( {x - 0,2} \right)}}{{x\left( {x - 0,2} \right)}} + \frac{{6x}}{{x\left( {x - 0,2} \right)}} = \frac{{20x\left( {x - 0,2} \right)}}{{x\left( {x - 0,2} \right)}}\)

\(8\left( {x - 0,2} \right) + 6x = 20x\left( {x - 0,2} \right)\)

\(8x - 1,6 + 6x = 20{x^2} - 4x\)

\(20{x^2} - 18x + 1,6 = 0\)

\(50{x^2} - 45x + 4 = 0\)

Phương trình có \(\Delta  = {\left( { - 45} \right)^2} - 4 \cdot 50 \cdot 4 = 1\,\,225 > 0\) và \(\sqrt \Delta   = 35.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{45 + 35}}{{2 \cdot 50}} = 0,8\) (thỏa mãn); \({x_2} = \frac{{45 - 35}}{{2 \cdot 50}} = 0,1\) (không thỏa mãn).

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng I là \(0,8\) g/cm3; khối lượng riêng của chất lỏng I là \(0,8 - 0,2 = 0,6\) (g/cm3).

     a) Thay \(x =  - 2,y = 8\) vào \(\left( P \right)\), ta được: \(8 = a.{\left( { - 2} \right)^2}\) hay \(4a = 8\) nên \(a = 2.\)

Vậy \(a = 2\) thì ta được hàm số \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) đi qua điểm \(A\left( { - 2;8} \right).\)

     b) Ta có bảng giá trị của hàm số \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) như sau:

Do đó, đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) đi qua các điểm có tọa độ \(\left( { - 2;8} \right);\left( { - 1;2} \right);\left( {0;0} \right);\left( {1;2} \right);\)\(\left( {2;8} \right)\).

Ta có đồ thị hàm số như sau:

c) Ta có: \(\left( P \right):y = 2{x^2}\), thay \(y = 2,\) ta được: \(2{x^2} = 2\), suy ra \({x^2} = 1\) nên \(x = 1\) hoặc \(x =  - 1.\)

Do đó, các điểm thuộc đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) có tung độ \(y = 2\) là \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( { - 1;2} \right)\).

a) Phương trình \({x^2} - 2mx - 2{m^2} - 1 = 0\) có \(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} + 2{m^2} + 1 = 3{m^2} + 1 > 0\) với mọi \(m\).

Do đó, phương trình luôn có nghiệm.

b) Với \(m = 2,\) ta có: \({x^2} - 4x - 9 = 0\).

Ta có biệt thức \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 9} \right) = 13 > 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Đó là \({x_1} = 2 - \sqrt {13} \) và \({x_2} = 2 + \sqrt {13} \).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\left\{ {2 - \sqrt {13} ;2 + \sqrt {13} } \right\}\).

c) Xét phương trình \({x^2} - 2mx - 2{m^2} - 1 = 0\) có:

\(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - 1 \cdot \left( { - 2{m^2} - 1} \right) = {m^2} + 2{m^2} + 1 = 3{m^2} + 1.\)

Với mọi \(m \in \mathbb{R}\) ta thấy \(3{m^2} + 1 > 0\) nên \(\Delta ' > 0.\)

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi giá trị của \(m.\)

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2m;\,\,{x_1}{x_x} =  - 2{m^2} - 1.\)

Ta có: \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} =  - 3\)

\(\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} =  - 3\)

\(\frac{{x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} =  - 3\)

\(\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} =  - 3\)

\(\frac{{{{\left( {2m} \right)}^2} - 2\left( { - 2{m^2} - 1} \right)}}{{ - 2{m^2} - 1}} =  - 3\)

\(4{m^2} + 4{m^2} + 2 = 6{m^2} + 3\)

\(2{m^2} = 1\)

\({m^2} = \frac{1}{2}\)

\(m = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (thỏa mãn) hoặc \(m =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m \in \left\{ {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right\}.\)

1.

Xét \(\Delta ABC\) đều có \(AB = AC\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \).

Phép quay thuận chiều kim đồng hồ với tâm \(A\) biến điểm \(B\) thành điểm \(C\) tạo nên cung lớn \(BC\) có số đo là:

$360°-\text{sđ}\stackrel{⏜}{BC}=360°-\widehat{BAC}=360°-60°=300°.$ 

Vậy góc quay của phép quay đó là \(300^\circ .\)

2.

a) Vì \(AI,\,\,CL\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(AI \bot BC\) và \(CL \bot AB.\) Do đó \(\widehat {AIB} = \widehat {BLC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HIB} = \widehat {BLH} = 90^\circ \).

Suy ra hai điểm \(I,\,\,L\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(BH.\)

Vậy bốn điểm \(B,\,\,I,\,\,L,\,\,H\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(BH\) hay tứ giác \(BIHL\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BH.\)

b) Chứng minh tương tự câu 1, ta có tứ giác \(CIHK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CH.\)

Điều kiện: \( - 1 \le x \le 1\).

Ta có: \(6\sqrt {1 - {x^2}}  - 4x = 3\left( {\sqrt {1 + x}  - 1} \right)\)

\(6\sqrt {\left( {1 + x} \right)\left( {1 - x} \right)}  - 4x = 3\left( {\sqrt {1 + x}  - 1} \right)\).

Đặt \(a = \sqrt {1 + x} ;b = \sqrt {1 - x} {\rm{ }}\left( {a,b \ge 0} \right)\)

Phương trình trở thành \(6ab - 4\left( {1 - {b^2}} \right) = 3\left( {a - 1} \right)\)

\(6ab + 4{b^2} - 4 - 3a + 3 = 0\)

\(3a\left( {2b - 1} \right) + \left( {2b - 1} \right)\left( {2b + 1} \right) = 0\)

\(\left( {2b - 1} \right)\left( {3a + 2b + 1} \right) = 0\)

Vì \(a,b \ge 0\) nên \(3a + 2b + 1 > 0\).

Do đó, \(2b - 1 = 0\) nên \(b = \frac{1}{2}.\)

Suy ra \(\sqrt {1 - x}  = \frac{1}{2}\) nên \({\left( {\sqrt {1 - x} } \right)^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\) hay \(1 - x = \frac{1}{4}\), do đó \(x = \frac{3}{4}\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = \frac{3}{4}\).