Giải phương trình sau: \(6\sqrt {1 - {x^2}}  - 4x = 3\left( {\sqrt {1 + x}  - 1} \right)\).

1. a) Xét các phương trình trên, ta có các phương trình bậc hai một ẩn là:

\(2{x^2} - 5x - 3 = 0\) và \({x^2} - 7x + 4 = 0.\)

• Với phương trình \(2{x^2} - 5x - 3 = 0\), ta có: \(a = 2;b =  - 5;c =  - 3\).

• Với phương trình \({x^2} - 7x + 4 = 0\), ta có: \(a = 1;b =  - 7;c = 4.\)

b) Giải phương trình \(2{x^2} - 5x - 3 = 0\), ta có: \(\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.\left( { - 3} \right) = 49 > 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\({x_1} = \frac{{5 + \sqrt {49} }}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\) và \({x_2} = \frac{{5 - \sqrt {49} }}{4} = \frac{{ - 2}}{4} =  - \frac{1}{2}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 5x - 3 = 0\) là: \(\left\{ { - \frac{1}{2};3} \right\}.\)

Giải phương trình \({x^2} - 7x + 4 = 0\), ta có: \(\Delta  = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.4 = 33 > 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\({x_1} = \frac{{7 + \sqrt {33} }}{2}\) và \({x_2} = \frac{{7 - \sqrt {33} }}{2}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình \({x^2} - 7x + 4 = 0\) là \(\left\{ {\frac{{7 + \sqrt {33} }}{2};\frac{{7 - \sqrt {33} }}{2}} \right\}\).

2. Gọi \(x\) (g/cm3) là khối lượng riêng của chất lỏng I \(\left( {x > 0,2} \right).\)

Khi đó, khối lượng riêng của chất lỏng II là \(x - 0,2\) (g/cm3).

Thể tích của chất lỏng I là: \(\frac{8}{x}\) (cm3).

Thể tích của chất lỏng II là: \(\frac{6}{{x - 0,2}}\) (cm3).

Khối lượng hỗn hợp sau khi trộn là: \(8 + 6 = 14\) (g).

Thể tích của hỗn hợp sau khi trộn là: \(\frac{{14}}{{0,7}} = 20\) (cm3).

Ta có phương trình: \(\frac{8}{x} + \frac{6}{{x - 0,2}} = 20\).

Giải phương trình:

\(\frac{8}{x} + \frac{6}{{x - 0,2}} = 20\)

\(\frac{{8\left( {x - 0,2} \right)}}{{x\left( {x - 0,2} \right)}} + \frac{{6x}}{{x\left( {x - 0,2} \right)}} = \frac{{20x\left( {x - 0,2} \right)}}{{x\left( {x - 0,2} \right)}}\)

\(8\left( {x - 0,2} \right) + 6x = 20x\left( {x - 0,2} \right)\)

\(8x - 1,6 + 6x = 20{x^2} - 4x\)

\(20{x^2} - 18x + 1,6 = 0\)

\(50{x^2} - 45x + 4 = 0\)

Phương trình có \(\Delta  = {\left( { - 45} \right)^2} - 4 \cdot 50 \cdot 4 = 1\,\,225 > 0\) và \(\sqrt \Delta   = 35.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{45 + 35}}{{2 \cdot 50}} = 0,8\) (thỏa mãn); \({x_2} = \frac{{45 - 35}}{{2 \cdot 50}} = 0,1\) (không thỏa mãn).

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng I là \(0,8\) g/cm3; khối lượng riêng của chất lỏng I là \(0,8 - 0,2 = 0,6\) (g/cm3).

1.

Xét \(\Delta ABC\) đều có \(AB = AC\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \).

Phép quay thuận chiều kim đồng hồ với tâm \(A\) biến điểm \(B\) thành điểm \(C\) tạo nên cung lớn \(BC\) có số đo là:

$360°-\text{sđ}\stackrel{⏜}{BC}=360°-\widehat{BAC}=360°-60°=300°.$ 

Vậy góc quay của phép quay đó là \(300^\circ .\)

2.

a) Vì \(AI,\,\,CL\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(AI \bot BC\) và \(CL \bot AB.\) Do đó \(\widehat {AIB} = \widehat {BLC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HIB} = \widehat {BLH} = 90^\circ \).

Suy ra hai điểm \(I,\,\,L\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(BH.\)

Vậy bốn điểm \(B,\,\,I,\,\,L,\,\,H\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(BH\) hay tứ giác \(BIHL\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BH.\)

b) Chứng minh tương tự câu 1, ta có tứ giác \(CIHK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CH.\)