Giải phương trình sau: \(6\sqrt {1 - {x^2}}  - 4x = 3\left( {\sqrt {1 + x}  - 1} \right)\).

1.

Xét \(\Delta ABC\) đều có \(AB = AC\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \).

Phép quay thuận chiều kim đồng hồ với tâm \(A\) biến điểm \(B\) thành điểm \(C\) tạo nên cung lớn \(BC\) có số đo là:

$360°-\text{sđ}\stackrel{⏜}{BC}=360°-\widehat{BAC}=360°-60°=300°.$ 

Vậy góc quay của phép quay đó là \(300^\circ .\)

2.

a) Vì \(AI,\,\,CL\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(AI \bot BC\) và \(CL \bot AB.\) Do đó \(\widehat {AIB} = \widehat {BLC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HIB} = \widehat {BLH} = 90^\circ \).

Suy ra hai điểm \(I,\,\,L\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(BH.\)

Vậy bốn điểm \(B,\,\,I,\,\,L,\,\,H\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(BH\) hay tứ giác \(BIHL\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BH.\)

b) Chứng minh tương tự câu 1, ta có tứ giác \(CIHK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CH.\)

a) Phương trình \({x^2} - 2mx - 2{m^2} - 1 = 0\) có \(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} + 2{m^2} + 1 = 3{m^2} + 1 > 0\) với mọi \(m\).

Do đó, phương trình luôn có nghiệm.

b) Với \(m = 2,\) ta có: \({x^2} - 4x - 9 = 0\).

Ta có biệt thức \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 9} \right) = 13 > 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Đó là \({x_1} = 2 - \sqrt {13} \) và \({x_2} = 2 + \sqrt {13} \).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\left\{ {2 - \sqrt {13} ;2 + \sqrt {13} } \right\}\).

c) Xét phương trình \({x^2} - 2mx - 2{m^2} - 1 = 0\) có:

\(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - 1 \cdot \left( { - 2{m^2} - 1} \right) = {m^2} + 2{m^2} + 1 = 3{m^2} + 1.\)

Với mọi \(m \in \mathbb{R}\) ta thấy \(3{m^2} + 1 > 0\) nên \(\Delta ' > 0.\)

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi giá trị của \(m.\)

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2m;\,\,{x_1}{x_x} =  - 2{m^2} - 1.\)

Ta có: \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} =  - 3\)

\(\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} =  - 3\)

\(\frac{{x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} =  - 3\)

\(\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} =  - 3\)

\(\frac{{{{\left( {2m} \right)}^2} - 2\left( { - 2{m^2} - 1} \right)}}{{ - 2{m^2} - 1}} =  - 3\)

\(4{m^2} + 4{m^2} + 2 = 6{m^2} + 3\)

\(2{m^2} = 1\)

\({m^2} = \frac{1}{2}\)

\(m = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (thỏa mãn) hoặc \(m =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m \in \left\{ {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right\}.\)