Bài tập cuối chương 6 lớp 9 (có lời giải)

Các hàm số có dạng \({\rm{a}}{x^2}({\rm{a}} \ne 0)\) là:

a) \(y = {x^2}\), có \({\rm{a}} = 1\); b) \(y =  - 3{x^2}\), có \({\rm{a}} =  - 3\) c) \(y = \frac{{4{x^2}}}{9}\), có \({\rm{a}} = \frac{4}{9}\).

a) Với \(x = 0\) thì \(y = {4.0^2} = 0\).

b) Với \(x = 2\) thì \(y = 4 \cdot {2^2} = 16\).

c) Với \(x =  - 2\) thì \(y = 4 \cdot {( - 2)^2} = 16\).

Thay \(x =  - 2\) và \(y = 4\) vào phương trình \(y = a{x^2}\), ta được: \(4 = a.{( - 2)^2} \Leftrightarrow 4a = 4 \Leftrightarrow a = 1\).

Hàm số có dạng \({\rm{y}} = {{\rm{x}}^2}\).

Bảng giá trị của hàm số \(y = {x^2}\):

Bảng giá trị của hàm số \(y = - {x^2}\):

Bảng giá trị của hàm số:

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), lấy các điểm \(E\left( { - 2; - 2} \right);F\left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right);O\left( {0;0} \right);F'\left( {1; - \frac{1}{2}} \right);E'\left( {2; - 2} \right)\).

Đồ thị của hàm số \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) là một đườnh parabol đỉnh \(O\), đi qua các điểm trên và có dạng như hình dưới đây.

a) \(A\) thuộc đường thẳng \({\rm{y}} = 2{\rm{x}} - 1\) và hoành độ bằng 2 nên tung độ của \(A:y = 2.2 - 1 \Rightarrow y = 3\). Vậy \(A(2;3)\).

Lại có A là giao điểm của parabol \(y = (m + 1){x^2}\) và \(y = 2x - 1\) nên ta có \(3 = (m + 1) \cdot {(2)^2}\)

\( \Rightarrow 4\;{\rm{m}} + 4 = 3 \Rightarrow \;{\rm{m}} =  - \frac{1}{4}\). Vậy \({\rm{y}} = \frac{3}{4}{{\rm{x}}^2}\).

b) Vẽ parabol (P): \(y = \frac{3}{4}{x^2}\).

Bảng giá trị:

Parabol \(({\rm{P}})\) có đỉnh O và nhận trục tung làm trục đối xứng.

a) Bảng giá trị:

Đồ thị \(({\rm{P}})\) là một parabol có đỉnh O và nhận trục tung làm trục đối xứng.

b) Đặt A(-2; \(\left. {{{\rm{y}}_0}} \right) \in ({\rm{P}})\)\( \Rightarrow {{\rm{y}}_0} = \left( { - \frac{1}{2}} \right){( - 2)^2} \Rightarrow {{\rm{y}}_0} =  - 2\)

Vậy \({\rm{A}}( - 2; - 2)\).

Đặt \(B\left( {1;{y_1}} \right) \in (P) \Rightarrow {y_1} = \left( { - \frac{1}{2}} \right) \cdot {(1)^2} \Rightarrow {y_1} =  - \frac{1}{2}\). Vậy \(B\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\)

Đường thẳng AB có phương trình \({\rm{y}} = {\rm{ax}} + {\rm{b}}({\rm{d}})\).

\(A \in (d) \Rightarrow  - 2 =  - 2a + b;B \in (d) \Rightarrow  - \frac{1}{2} = a + b\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a + b =  - 2}\\{a + b =  - \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a - b = 2}\\{a + b =  - \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{1}{2}}\\{a + b =  - \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{1}{2}}\\{b =  - 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy phương trình đường thẳng AB có dạng: \({\rm{y}} = \frac{1}{2}{\rm{x}} - 1\).

Ta có: \(a = 1;c =  - 10 \Rightarrow ac < 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Theo định lí Viete, ta có: \({x_1} + {x_2} = 1;{x_1}{x_2} =  - 10\). Vậy \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 1 - 2.( - 10) = 21\).

Nhận xét: - Ta có \(ac < 0 \Rightarrow \frac{c}{a} < 0\) mà \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \Rightarrow {x_1}{x_2} < 0\). Vậy khi \[a{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}c\] trái dấu thì phương trình bậc hai có hai nghiệp phân biệt và trái dấu (chẳng hạn: \({x_1} < 0 < {x_2}\) ).

- Biểu thức \({x_1}^2 + {x_2}^2\) không thay đổi khi ta thay \({x_1}\) bởi \({x_2}\) và ngược lại, gọi là biểu thức đối xứng của \({x_1}\) và \({x_2}\). Bạn cần nhớ một vài công thức sau: \(S = {x_1} + {x_2}\), ta có:

\({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {S^2} - 2P\) (biểu thị qua tổng và tích các nghiệm)

\[{{\rm{x}}_1}^3 + {\rm{x}}_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] = S\left( {{S^2} - 3P} \right) = {S^3} - 3SP\]

\({x_1}^4 + {x_2}^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2{x_1}^2{x_2}^2 = {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{x_1}^2x_2^2 = {\left( {{S^2} - 2P} \right)^2} - 2{P^2}\)

\({\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {S^2} - 4P\)