Vẽ đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\).

Ta có 6 giờ 45 phút= \(\frac{{27}}{4}\)giờ.

Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là \[x\,({\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}},x > 4)\]

Suy ra vận tốc của tàu thủy khi xuôi dòng là \(x + 4\,(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\).

Vận tốc của tàu thủy khi ngược dòng là \(x - 4\,(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\).

Thời gian tàu thủy đi xuôi dòng \(120\;{\rm{km}}\) là \(\frac{{120}}{{x + 4}}\) (giờ).

Thời gian tàu thủy đi ngược dòng \(120\;{\rm{km}}\) là \(\frac{{120}}{{x - 4}}\) (giờ).

Theo đề Câu, thời gian cả đi lẫn về mất \(\frac{{27}}{4}\) giờ. Ta có phương trình

\(\frac{{120}}{{x + 4}} + \frac{{120}}{{x - 4}} = \frac{{27}}{4} \Leftrightarrow 9{x^2} - 320x - 144 = 0.\)

Ta có \(\Delta  = {320^2} - 4 \cdot 9 \cdot ( - 144) = 107584 > 0\) nên phương trình có nghiệm \({x_1} =  - \frac{4}{9}\) (loại); \({x_2} = 36\) (nhận).

Vậy vận tốc tàu thủy khi nước yên lặng là \(36\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\).

Ta có: \(a = 3;b =  - 7;c =  - 4 \Rightarrow a.c =  - 12 < 0\). Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{7}{3};{x_1}{x_2} = \frac{{ - 4}}{3}\).

a) Ta có: \({A^2} = {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} - 4.\left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right) = \frac{{97}}{9} \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {97} }}{3}\)

b) Ta có \(B = \frac{{x_1^3 + x_2^3}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}.\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{{{\left( {\frac{7}{3}} \right)}^3} - 3.\left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right).\frac{7}{3}}}{{\frac{{ - 4}}{3}}} =  - \frac{{595}}{{36}}\)