Tính chiều cao của trụ cầu Cần Thơ so với mặt sông Hậu, cho biết tại hai điểm cách nhau \(89m\) trên mặt sông người ta nhìn thấy đỉnh trụ cầu với góc nâng lần lượt là \({40^{\rm{o}}}\)và \({30^{\rm{o}}}\).

Lời giải

Hình vẽ minh họa Câu toán:

Ta có:

\(\begin{array}{l}AK = CH\\ \Rightarrow AD + DK = CH\\ \Rightarrow AD = CH - DK = 2,1 - 1 = 1,6m\end{array}\)

Mà:

\(\begin{array}{l}AB + AD = BD\\ \Rightarrow AB = BD - AD = 8,1 - 1,6 = 6,5m\end{array}\)

Xét vuông tại \(A\), ta có:

\({\mathop{\rm sinC}\nolimits}  = \frac{{AB}}{{BC}}\) ( tỷ số lượng giác của góc nhọn)

\[ \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{6,5}}{{\sin {{40}^0}}} \approx 10,1m\].

Vậy cần cẩu phải dài 10,1 m.

Ta có \(\cos A = \frac{{AE}}{{AB}};\,\,\cos B.cosC = \frac{{BD}}{{AB}}.\frac{{DC}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác

\( \Rightarrow \frac{{DB}}{{DA}} = \frac{{DH}}{{DC}} \Rightarrow DB.DC = DA.DH\)

Hay \(DB.DC = DA.AH\,\,\left( 2 \right)\)

Mà \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AE.AC = AD.DH\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)\) ta có \({\mathop{\rm cosB}\nolimits} .cosC = \frac{{AE.AC}}{{AB.AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\) suy ra \[\cos A = \cos B.cosC\]