Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm như hình vẽ. Thiết bị này có góc chiếu sáng là \[20^\circ \] và cần đặt cao hơn mặt đất là 2,5m. Người ta đặt thiết bị chiếu sáng này sát tường và được canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường 2m. Hãy tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất.

    

Hình vẽ minh họa Câu toán:

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\), ta có

\(\tan ADB = \frac{{AB}}{{AD}}\) (tỉ số lượng giác của hai góc nhọn)

\(AD = \frac{{AB}}{{\tan ADB}} = \frac{{AB}}{{\tan {{40}^{\rm{o}}}}}\,m\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có

\(\tan ACB = \frac{{AB}}{{AC}}\) (tỉ số lượng giác của hai góc nhọn)

\(AC = \frac{{AB}}{{\tan ACB}} = \frac{{AB}}{{\tan {{30}^{\rm{o}}}}}\,m\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \(AD + DC = AC\)(vì \(D\)thuộc \(AC\))

\[\frac{{AB}}{{\tan 40^\circ }} + 89 = \frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }}\]

\(\frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }} - \frac{{AB}}{{\tan 40^\circ }} = 89\)

\[\frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }}\left( {\frac{1}{{\tan 30^\circ }} - \frac{1}{{\tan 40^\circ }}} \right) = 89\]

\(AB = \frac{{89}}{{\frac{1}{{\tan 30^\circ }} - \frac{1}{{\tan 40^\circ }}}}\)

Do đó \(AB \approx 164,7\,m\)

Hình vẽ minh họa Câu toán

a) Vì các góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bằng nhau nên góc B bằng góc B’

\[ \Rightarrow \tan B = \tan B' = \frac{{A'C'}}{{A'B'}} = \frac{{15}}{{2,64}}\] (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

\[ \Rightarrow B = B' \approx {80^o}\]

Vậy góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là \[{80^o}\]

b) Ta có: \[\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}\]

\[ \Rightarrow AC = AB.tanB = 47,3.\frac{{15}}{{2,64}} \approx 268,8m\]

Vậy chiều cao của tòa nhà là 268,8m