Hai bạn học sinh Trung và Dũng đang đứng ở mặt đất bằng phẳng, cách nhau \(100m\) thì nhìn thấy một chiếc diều (ở vị trí \(C\) giữa hai bạn). Biết góc “nâng” để nhìn thấy diều ở vị trí của Trung là \(50^\circ \) và góc “nâng” để nhìn thấy diều ở vị trí của Dũng là \(40^\circ \). Hãy tính độ cao của diều lúc đó so với mặt đất? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Ta có \(\cos A = \frac{{AE}}{{AB}};\,\,\cos B.cosC = \frac{{BD}}{{AB}}.\frac{{DC}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác

\( \Rightarrow \frac{{DB}}{{DA}} = \frac{{DH}}{{DC}} \Rightarrow DB.DC = DA.DH\)

Hay \(DB.DC = DA.AH\,\,\left( 2 \right)\)

Mà \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AE.AC = AD.DH\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)\) ta có \({\mathop{\rm cosB}\nolimits} .cosC = \frac{{AE.AC}}{{AB.AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\) suy ra \[\cos A = \cos B.cosC\]

Hình vẽ minh họa Câu toán:

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\), ta có

\(\tan ADB = \frac{{AB}}{{AD}}\) (tỉ số lượng giác của hai góc nhọn)

\(AD = \frac{{AB}}{{\tan ADB}} = \frac{{AB}}{{\tan {{40}^{\rm{o}}}}}\,m\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có

\(\tan ACB = \frac{{AB}}{{AC}}\) (tỉ số lượng giác của hai góc nhọn)

\(AC = \frac{{AB}}{{\tan ACB}} = \frac{{AB}}{{\tan {{30}^{\rm{o}}}}}\,m\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \(AD + DC = AC\)(vì \(D\)thuộc \(AC\))

\[\frac{{AB}}{{\tan 40^\circ }} + 89 = \frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }}\]

\(\frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }} - \frac{{AB}}{{\tan 40^\circ }} = 89\)

\[\frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }}\left( {\frac{1}{{\tan 30^\circ }} - \frac{1}{{\tan 40^\circ }}} \right) = 89\]

\(AB = \frac{{89}}{{\frac{1}{{\tan 30^\circ }} - \frac{1}{{\tan 40^\circ }}}}\)

Do đó \(AB \approx 164,7\,m\)