Phần thuận: (Hình 1)

Nối OM. Vì M là trung điểm của AB nên $\mathrm{OM}\perp \mathrm{AB}\Rightarrow \widehat{\mathrm{POM}}=90°$, tức là M luôn nhìn đoạn OP dưới một góc vuông. Vậy M luôn thuộc đường tròn đường kính OP.

Giới hạn: Theo chứng minh trên thì mọi điểm M thuộc quỹ tích đều thuộc đường tròn đường kính OP.

Vị trí M trùng O tương ứng với trường hợp d đi qua O.

Như vậy, quỹ tích là cả đường tròn đường kính OP.

Phần đảo: (Hình 2)

Lấy một điểm M' bất kì thuộc đường tròn đường kính OP (M' khác O). Nối OM'. Qua M' kẻ đường thẳng d' vuông góc với OM' cắt (O) tại A' và B'. Do góc $\widehat{O{M}^{\text{'}}P}=90°$ nên d' đi qua P.

Vì tam giác OA'B' cân tại O và OM' vuông góc với A'B' nên M' là trung điểm của A'B'.

Vậy M' là một điểm thuộc quỹ tích.

Kết luận: Quỹ tích là đường tròn đường kính OP.

Chú ý: Nếu P là một điểm nằm ngoài đường tròn thì quỹ tích sẽ chỉ là phần đường tròn đường kính OP nằm bên trong (O). Như vậy, phần đảo và phần giới hạn có ý nghĩa nói chung không thể bỏ qua.

a)

Phần thuận: Ta có $\widehat{ACB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\Rightarrow \widehat{BCD}=90°$, mà $CD=CB$ (giả thiết).

Suy ra $\Delta BCD$ vuông cân tại C.

$\Rightarrow \widehat{CDB}=45°$ hay $\widehat{ADB}=45°$.

Mặt khác AB cố định. Do đó khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D chuyển động trên cung chứa góc $45°$ dựng trên đoạn thẳng AB cố định.

Giới hạn: Ta có dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB.

- Dây AC lớn nhất bằng đường kính của đường tròn. Khi C trùng với B khi đó D trùng với B. Vậy B là điểm thuộc quỹ tích.

- Dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 khi C trùng với A, thì khi đó D trùng với B' là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính AB tại A với cung chứa góc $45°$ vẽ trên AB.

Phần đảo: Lấy điểm D' tùy ý trên cung BB', nối AD' cắt đường tròn đường kính AB tại C'. Nối BC', B'D'.

Ta có: $\widehat{A{D}^{\text{'}}B}=45°$ (vì D nằm trên cung chứa góc $45°$ dựng trên đoạn AB).

Trong đường tròn đường kính AB ta có: $\widehat{A{C}^{\text{'}}B}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\Rightarrow \widehat{B{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=90°\Rightarrow \Delta B{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ vuông cân tại $C^{\text{'}}\Rightarrow C^{\text{'}}B=C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$.

Kết luận: Vậy quỹ tích các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là cung $\stackrel{⏜}{B{B}^{\text{'}}}$ nằm trên cung chứa góc $45°$ vẽ trên đoạn AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C.