b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.

Mà CE = CB (giả thiết) nên suy ra $\Delta CBE$ vuông tại C.

$\Rightarrow \widehat{CEB}=45°\Rightarrow \widehat{AEB}=180°-\widehat{CEB}=135°$ (hai góc kề bù).

Mặt khác, AB cố định, nên khi C chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì E chuyển động trên cung chứa góc $135°$ dựng trên đoạn thẳng AB cố định.

Giới hạn: Khi dây AC có độ dài lớn nhất bằng đường kính của đường tròn, thì C trùng với B khi đó E trùng với B. Suy ra B là một điểm của quỹ tích.

Khi dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 thì C trùng với A, thì khi đó E trùng với A nên A là một điểm của quỹ tích.

Phần đảo: Lấy E' bất kỳ trên cung chứa góc $135°$. Kẻ AE' cắt đường tròn đường kính AB tại C'. Nối BE', BC'.

Ta có: $\widehat{A{E}^{\text{'}}B}=135°$ (vì E nằm trên cung chứa góc $135°$).

$\Rightarrow \widehat{B{E}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=180°-\widehat{A{E}^{\text{'}}B}=45°$ (hai góc kề bù).

Trong đường tròn đường kính AB có: $\widehat{A{C}^{\text{'}}B}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra tam giác E'C'B vuông cân tại C'. Do đó C'E = C'B.

Vậy C' là một điểm thuộc quỹ tích.