Cho một đường tròn (O) và dây AB cố định, điểm C chuyển động trên cung lớn AB (C khác A và B). Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC chuyển động trên một cung tròn cố định.

a)

Phần thuận: Ta có $\widehat{ACB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\Rightarrow \widehat{BCD}=90°$, mà $CD=CB$ (giả thiết).

Suy ra $\Delta BCD$ vuông cân tại C.

$\Rightarrow \widehat{CDB}=45°$ hay $\widehat{ADB}=45°$.

Mặt khác AB cố định. Do đó khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D chuyển động trên cung chứa góc $45°$ dựng trên đoạn thẳng AB cố định.

Giới hạn: Ta có dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB.

- Dây AC lớn nhất bằng đường kính của đường tròn. Khi C trùng với B khi đó D trùng với B. Vậy B là điểm thuộc quỹ tích.

- Dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 khi C trùng với A, thì khi đó D trùng với B' là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính AB tại A với cung chứa góc $45°$ vẽ trên AB.

Phần đảo: Lấy điểm D' tùy ý trên cung BB', nối AD' cắt đường tròn đường kính AB tại C'. Nối BC', B'D'.

Ta có: $\widehat{A{D}^{\text{'}}B}=45°$ (vì D nằm trên cung chứa góc $45°$ dựng trên đoạn AB).

Trong đường tròn đường kính AB ta có: $\widehat{A{C}^{\text{'}}B}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\Rightarrow \widehat{B{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=90°\Rightarrow \Delta B{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ vuông cân tại $C^{\text{'}}\Rightarrow C^{\text{'}}B=C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$.

Kết luận: Vậy quỹ tích các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là cung $\stackrel{⏜}{B{B}^{\text{'}}}$ nằm trên cung chứa góc $45°$ vẽ trên đoạn AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C.