Cho đường tròn (O), P là một điểm cố định nằm trong (O) nhưng không trùng với tâm O. Một đường thẳng d thay đổi qua P cắt (O) tại A và B. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn AB khi d quay quanh P.

Đặt $\widehat{ACB}=\alpha$. Ta có:

$\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

$\Rightarrow \widehat{BAC}+\widehat{ABC}=180°-\widehat{ACB}=180°-\alpha$.

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI, BI lần lượt là tia phân giác của hai góc A và B. Suy ra

$$\begin{gathered} \widehat{IAB}=\frac{1}{2}\widehat{BAC};\widehat{IBA}=\frac{1}{2}\widehat{ABC} \\ \Rightarrow \widehat{IAB}+\widehat{IBA}=\frac{1}{2}\left(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}\right)=90°-\frac{\alpha }{2} \end{gathered}$$

Lại có: $\widehat{AIB}+\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

$\Rightarrow \widehat{AIB}=180°-\left(\widehat{IAB}+\widehat{IBA}\right)=180°-\left(90°-\frac{\alpha }{2}\right)=90°+\frac{\alpha }{2}$ không đổi.

Vì AB cố định, I thuộc nửa mặt phẳng chứa cung lớn AB có bờ là đường thẳng AB nên I luôn chuyển động trên cung chứa góc $90°+\frac{\alpha }{2}$ dựng trên đoạn AB.

Ta có: $\widehat{AIB}=180°-\widehat{NIB}=120°$ (hai góc kề bù).

Do AB cố định nên quỹ tích điểm I là cung chứa góc $120°$ dựng trên đoạn AB.

Phần đảo: Trên cung chứa góc $120°$ dựng trên đoạn AB, lấy điểm I'. AI' và BI' lần lượt cắt nửa đường tròn (O) tại N' và M'. Khi đó $\widehat{A{I}^{\text{'}}B}=120°\Rightarrow \widehat{B{I}^{\text{'}}{N}^{\text{'}}}=60°\Rightarrow \widehat{M^{\text{'}}O{N}^{\text{'}}}=60°$.

Suy ra tam giác M'O'N' đều. Do đó M'N' = R.

Vậy I' là một điểm thuộc quỹ tích.

Kết luận: Quỹ tích các điểm I là cung chứa góc ${120}^{\circ }$ dựng trên đoạn AB.