(Hãy giải bằng nhiều cách khác nhau)      

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Biết AB=8cm, AC=6cm. Tính độ dài AH.

Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB cắt tia BO tại D.

Ta có    $\widehat{\text{D}}+\widehat{{\text{B}}_1}={90}^{°}$

mà $\widehat{{\text{B}}_1}=\widehat{{\text{B}}_2}$  nên  $\widehat{AOD}=\widehat{D}$

Do đó DAOD cân tại A. Suy ra $AD=AO=2\sqrt{3}$  (cm).

Vẽ AH ^ OD thì HO = HD.

Ta đặt $HO=HD=x$  thì  $BD=2x+2.$

Xét DABD vuông tại A, đường cao AH, ta có  $A{D}^2=BD.HD.$

Suy ra ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2=x(2x+2)$  Từ đó ta được phương trình:

$2x^2+2x–12=0$ Û (x – 2)(x + 3) = 0 Û x = 2 hoặc x = -3.

Giá trị x = 2 được chọn, giá trị x = -3 bị loại.

Do đó $BD=2+2+2=6$  (cm). Suy ra $AB=\sqrt{6^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$  (cm).

Tìm cách giải

Biểu thức $\frac{1}{{\text{AM}}^2}+\frac{1}{{\text{AN}}^2}$  gợi ý cho ta vận dụng hệ thức (4) $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$  để giải. Muốn vậy phải tạo ra một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng AM, AN.

* Trình bày lời giải

Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại E.

DADE và DABM có $\widehat{\text{D}}=\widehat{\text{B}}={90}^{°};$  AD = AB; $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$  (cùng phụ với $\widehat{DAM}$  ).

Do đó $\Delta ADE=\Delta ABM\left(g.c.g\right).$  Suy ra AE = AM.

Xét DAEN vuông tại A có AD ^ EN nên $\frac{1}{{\text{AE}}^2}+\frac{1}{{\text{AN}}^2}=\frac{1}{{\text{AD}}^2}$

Mặt khác $AE=AM;AD=1$  nên $\frac{1}{{\text{AM}}^2}+\frac{1}{{\text{AN}}^2}=1$