Dạng 3. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Ta phải tìm $\widehat{A},$   AB, AC và BC.

· Xét DABH vuông tại H ta có:

 $AH=AB.sinB\Rightarrow \text{AB}=\frac{{\displaystyle \text{AH}}}{{\displaystyle \sin \text{B}}}=\frac{{\displaystyle 5,0}}{{\displaystyle \sin {35}^{°}}}\approx 8,7\left(\text{cm}\right)$

$BH=AH.cotB\approx 5,0.cot{35}^o\approx 7,1$  (cm).

· Xét DACH vuông tại H ta có

$AH=AC.sinC\Rightarrow \text{AC}=\frac{{\displaystyle \text{AH}}}{{\displaystyle \sin \text{C}}}=\frac{{\displaystyle 5,0}}{{\displaystyle \sin {50}^{°}}}\approx 6,5\left(\text{cm}\right)$   

$CH=AH.cotC\approx 5,0.cot{50}^o\approx 4,2$ (cm).

Do đó $BC=BH+CH=7,1+4,2=11,3$   (cm).

Vậy $\widehat{A}={95}^{°}$  ; AB = 8,7cm; AC = 6,5cm và BC = 11,3cm.

Lưu ý: Sau khi tính được AB và AC, có thể tính BH và CH theo AB và AC:

$BH=AB.cosB;CH=AC.cosC.$

Tuy nhiên, ta nên tính BH và CH theo các số đo đã cho trong đề bài để kết quả được chính xác hơn.

* Tìm cách giải

Vẽ đường cao AH để vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. Tính HB và HC từ đó tính được BC.

* Trình bày lời giải

Vẽ đường cao AH. Xét DABH vuông tại H có:

$AH=AB.sinB=14.sin{40}^o\approx 9,0$ (cm).

$BH=AB.cosB=14.cos{40}^o\approx 10,7$ (cm).

Xét DAHC vuông tại H có:$\text{HC}=\sqrt{{\text{AC}}^2-{\text{AH}}^2}=\sqrt{{11}^2-9^2}\approx 6,3$ (cm).

· Nếu H nằm giữa B và C thì $BC=BH+HC\approx 10,7+6,3=17$  (cm).

· Nếu C' nằm giữa B và H thì $BC\text{'}=BH–HC\text{'}\approx 10,7-6,3=4,4$  (cm).

Lưu ý: Học sinh có thể chỉ giải một nghiệm hình là chưa đủ. Bài toán có 2 nghiệm hình

Vẽ đường cao AH. Xét DABH vuông tại H có:

$AH=AB.sinB=3,2.sin{70}^o\approx 3,0$ (cm).

$BH=AB.cosB=3,2.cos{70}^o\approx 1,1$ (cm).

Xét DAHC vuông tại H có:

$\text{HC}=\sqrt{{\text{AC}}^2-{\text{AH}}^2}\approx \sqrt{5,0^2-3,0^2}=4,0$ (cm).

Điểm C không thể nằm giữa H và B vì trên tia HB có HC > HB. Chỉ còn trường hợp điểm H nằm giữa B và C. Ta có $BC=BH+HC\approx 1,1+4,0=5,1$ (cm).