Dạng 4. Giải bài toán hệ thức lượng bằng phương pháp đại số

Thi Online Bài tập Toán 9 Chủ đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông có đáp án

Dạng 4. Giải bài toán hệ thức lượng bằng phương pháp đại số

1199 lượt thi
6 câu hỏi
45 phút

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH.

Media VietJack

Đặt $B H = x$ . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông ở A, có đường cao AH. Ta được: $A B^{2} = B H . B C$ hay $20^{2} = x (x + 9) .$

Thu gọn ta được phương trình : $x^{2} + 9 x - 400 = 0$

Giải phương trình này ta được $x_{1} = 16$ ; $x_{2} = - 25$ (loại)

Dùng định lý Pitago tính được AH = 12 cm

Lưu ý : Giải PT bậc 2 nên dùng máy tính để giải cho nhanh.

Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết quả

Câu 2:

Cho tam giác ABC , $\hat{B} = 60^{0}$ , BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB.

Xem đáp án

Kẻ AH $⊥$ BC. Đặt $A B = 2 x$ . Từ đó tính được $B H = x$ và $A H = x \sqrt{3}$ ; $H C = 8 - x$

Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vuông tại H

Ta có: AC = $\sqrt{{(x \sqrt{3})}^{2} + {(8 - x)}^{2}} = \sqrt{4 x^{2} - 16 x + 64}$

Do AB + AC = 12 nên $2 x + \sqrt{4 x^{2} - 16 x + 64} = 12$

Giải PT trên ta được : x = 2,5

AB = 2.2,5 = 5cm

Chú ý: Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm .

Diện tích tam giác ABC = $10 \sqrt{3}$ cm.

Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác. Biết rằng AD = 1cm; BD = $\sqrt{10}$ cm. Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân)

Xem đáp án

Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm.

Đặt BC = x , dùng Pitago tính được $A C^{2} = \sqrt{x^{2} - 9}$ .

Do AD = 1 nên DC = $\sqrt{x^{2} - 9}$ – 1

Tam giác ABC có BD là phân giác góc ABC nên : $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D C}$

hay $\frac{3}{x} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 9} - 1}$ . Từ đó ta được phương trình $8 x^{2} - 6 x - 90 = 0$

Giải phương trình tìm được x = 3,75cm

Trả lời : BC = 3,75cm

Câu 4:

Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.

Xem đáp án

Kẻ AH $⊥$ CD ; BK $⊥$ CD. Đặt AH = AB = x $\Rightarrow$ HK = x

$Δ A H D = Δ B K C$ (cạnh huyền- góc nhọn)

Suy ra : $D H = C K = \frac{10 - x}{2}$ .

Vậy $H C = H K + C K = x + \frac{10 - x}{2} = \frac{x + 10}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH

Ta có : $A H^{2} = D H . C H$ hay $x^{2} = \frac{10 - x}{2} . \frac{10 + x}{2} \Leftrightarrow 5 x^{2} = 100$

Giải phương trình trên ta được $x = 2 \sqrt{5}$ và $x = - 2 \sqrt{5}$ (loại)

Vậy : $A H = 2 \sqrt{5}$

Câu 5:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC.

Xem đáp án

Đặt $B C = 2 x$ , từ tính chất của tam giác cân ta suy ra $C H = x$

Áp dụng định lí Pitago tính được $A C = \sqrt{15, 6^{2} + x^{2}}$

Từ hai tam giác vuông KBC và HAC đồng dạng ta được:

$\frac{B C}{A C} = \frac{K B}{A H}$ hay $\frac{2 x}{\sqrt{15, 6^{2} + x^{2}}} = \frac{12}{15, 6}$

Đưa về phương trình $15, 6^{2} + x^{2} = 6, 76 x^{2}$

Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5

Vậy $BC = 2.6, 5 = 13$ (cm)

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Dạng 1. Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

10 câu hỏi 45 phút

Dạng 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

14 câu hỏi 45 phút

Dạng 3. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

3 câu hỏi 45 phút

Các bài thi hot trong chương:

Bài tập Toán 9 Chủ đề 1: Bài toán rút gọn có đáp án

( 2.4 K lượt thi )

Bài tập Toán 9 Chủ đề 7: Cực trị hình học có đáp án

( 2 K lượt thi )

Bài tập Toán 9 Chủ đề 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình có đáp án

( 1.4 K lượt thi )

Bài tập Toán 9 Chủ đề 7: Phương trình bậc hai một ẩn - Hệ vi- et và ứng dụng có đáp án

( 1.4 K lượt thi )

Bài tập Toán 9 Chủ đề 5: Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng có đáp án

( 1.3 K lượt thi )

Đánh giá trung bình

Thi Online Bài tập Toán 9 Chủ đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông có đáp án