Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.

Kẻ AH vuông góc BC

Đặt AB = 2x

$\begin{array}{l}\sin \widehat{B}=\frac{HA}{AB}\Rightarrow AH=\sin 60°.2x=x\sqrt{3}\\ cos\widehat{B}=\frac{HB}{AB}\Rightarrow BH=co\mathrm{s}60°.2x=x\end{array}$

Xét tam giác ABH vuông tại H có

Ta có CH = BC – BH = 8 – x

Vì tam giác AHC vuông tại H nên

$AC=\sqrt{A{H}^2+C{H}^2}=\sqrt{{\left(x\sqrt{3}\right)}^2+{\left(8-x\right)}^2}=\sqrt{4x^2-16x+64}$

Do AB + AC = 12 nên $2x+\sqrt{4x^2-16x+64}=12$

$\begin{array}{l}\iff \sqrt{4x^2-16x+64}=12-2x\\ \iff 4x^2-16x+64=144-48x+4x^2\\ \iff 32x=80\\ \iff x=\mathrm{2,5}\end{array}$

Vậy AB = 2,5 x 2 = 5 (cm).

Đặt  BC = 2x

Vì tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao nên AH là trung tuyến

Suy ra BH  = CH = x

Áp dụng định lí Pitago tính được $\text{A}C=\sqrt{{\mathrm{15,6}}^2+x^2}$

Xét ∆KBC và ∆HAC có

 $\widehat{C}$ là góc chung

$\widehat{CKB}=\widehat{AHC}\left(=90°\right)$

Suy ra $\Delta KBC\backsim \Delta HAC$ (g.g)

Do đó $\frac{BC}{AC}=\frac{KB}{HA}$

Hay $\frac{2\text{x}}{\sqrt{{\mathrm{15,6}}^2+x^2}}=\frac{12}{\mathrm{15,6}}$

$\iff \mathrm{31,2}\text{x}=12\sqrt{\mathrm{243,36}+x^2}$

$\iff \mathrm{2,6}\text{x}=\sqrt{\mathrm{243,36}+x^2}$

⇔ 6,76x2 = 342,36 + x2

⇔ 5,76x2 = 342,36

⇔ x = 6,5

Vậy BC = 6,5 x 2 = 13 cm.