Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 trường THCS Mạc Đĩnh Chi (Hà Nội) năm học 2024-2025 có đáp án

a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\) nên \(1 = m{\left( { - 1} \right)^2}\).

Suy ra \(1 = m.1\).

Do đó \(m = 1\).

Vậy \(m = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Vì các điểm có tung độ bằng \(9\) nên \(y = 9\).

Thay \(y = 9\) và \(m = 1\) vào \(y = m{x^2}\), ta được: \(9 = 1.{x^2}\).

Suy ra \({x^2} = 9 = {3^2} = {\left( { - 3} \right)^2}\).

Do đó \(x = 3\) hoặc \(x = - 3\).

Vậy các điểm cần tìm là \(M\left( {3;9} \right)\) và \(N\left( { - 3;9} \right)\).

a) \({x^2} + 3x - 10 = 0\).

Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac = {3^2} - 4.1.\left( { - 10} \right) = 49 > 0\).

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 3 + \sqrt {49} }}{{2.1}} = 2\);

\({x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 3 - \sqrt {49} }}{{2.1}} = - 5\).

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 2;{x_2} = - 5\).

b) \(9{x^2} - 6x - 4 = 0\).

Ta có: \(\Delta ' = {b'^2} - ac = {\left( { - 3} \right)^2} - 9.\left( { - 4} \right) = 45 > 0\).

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{3 + \sqrt {45} }}{9} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{3}\);

\({x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{3 - \sqrt {45} }}{9} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{3}\).

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{3};\,\,{x_2} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{3}\).

Gọi số sản phẩm theo kế hoạch mỗi ngày tổ sản xuất phải làm là \(x\) (sản phẩm) \(\left( {x > 0} \right)\).

Số ngày làm \(300\) sản phẩm theo kế hoạch là: \(\frac{{300}}{x}\) (ngày).

Số sản phẩm theo thực tế mỗi ngày tổ sản xuất làm được là: \(x + 10\) (sản phẩm).

Số ngày làm \(300\) sản phẩm theo thực tế là: \(\frac{{300}}{{x + 10}}\) (ngày).

Vì hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch một ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{{300}}{x} - \frac{{300}}{{x + 10}} = 1\).

Suy ra \(\frac{{300\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}} - \frac{{300x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}}\).

Do đó \(300\left( {x + 10} \right) - 300x = x\left( {x + 10} \right)\).

Vì vậy \(300x + 3000 - 300x = {x^2} + 10x\).

Suy ra \({x^2} + 10x - 3000 = 0\).

Khi đó \({x^2} - 50x + 60x - 3000 = 0\).

Vì vậy \(x\left( {x - 50} \right) + 60\left( {x - 50} \right) = 0\).

Suy ra \(\left( {x + 60} \right)\left( {x - 50} \right) = 0\).

Do đó \(x + 60 = 0\) hoặc \(x - 50 = 0\).

Vì vậy \(x = - 60\) hoặc \(x = 50\).

So với điều kiện \(x > 0\), ta nhận \(x = 50\).

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm \(50\) sản phẩm.

1) Ta có \[\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4m = {m^2} + 4 \ge 4,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\].

Suy ra \[\Delta > 0,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\].

Vậy phương trình \[\left( 1 \right)\] luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).

2) Thay \(x = \frac{{ - 3}}{2}\) vào phương trình (1) ta được:

\[{\left( { - \frac{3}{2}} \right)^2} - \left( {m + 2} \right)\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right) + m = 0\].

Suy ra \[\frac{9}{4} + \frac{3}{2}m + 3 + m = 0\].

Do đó \[\frac{5}{2}m = - \frac{{21}}{4}\].

Vì vậy \[m = - \frac{{21}}{{10}}\].

Thay \[m = \frac{{ - 21}}{{10}}\]vào phương trình đã cho, ta được: \[{x^2} - \left( { - \frac{{21}}{{10}} + 2} \right)x - \frac{{21}}{{10}} = 0\].

Suy ra \[{x^2} + \frac{1}{{10}}x - \frac{{21}}{{10}} = 0\].

Áp dụng định lí Viète, ta có: \[S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = - \frac{1}{{10}}.1 = - \frac{1}{{10}}\].

\[P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - \frac{{21}}{{10}}.1 = - \frac{{21}}{{10}}\].

Ta có: \[x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\].

\[ = {\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^2} - 2.\left( { - \frac{{21}}{{10}}} \right) = \frac{{421}}{{100}}\].

Vậy tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình bằng \[\frac{{421}}{{100}}\].

Gọi \[I\] là trực tâm của tam giác \(ABC\).

Khi đó \[I\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).

Vì tam giác \(ABC\) đều nên \[\widehat {ABC} = 60^\circ \].

Vì tam giác \(ABC\) đều có \[I\] là trực tâm nên \(BI\) vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác \(ABC\).

Do đó \[\widehat {CBI} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \].

Theo đề, ta có đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) có đường kính bằng \(30\,\,{\rm{cm}}\).

Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là: \(IH = \frac{{30}}{2} = 15\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Xét tam giác \(BHI\) vuông tại \(H\), có: \(\tan \widehat {HBI} = \frac{{IH}}{{BH}}\).

Suy ra \[BH = \frac{{IH}}{{\tan \widehat {HBI}}} = \frac{{15}}{{\tan 30^\circ }} = 15\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\].

Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(AH\) vừa là đường cao, vừa là đường trung trực của tam giác \(ABC\).

Do đó \[H\] là trung điểm của \(BC\).

Vì vậy \[BC = 2BH = 2.15\sqrt 3 = 30\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\].

Vậy độ dài các cạnh của khung gỗ phải bằng \[30\sqrt 3 \,\,cm\].