5 bài tập Tính độ dài các cung tròn. Diện tích các hình (có lời giải)

\[A,B\] là hai điểm trên \[\left( O \right)\] nên sẽ có hai cung.

Cung nhỏ \(AB\) bị chắn bởi góc ở tâm \(AOB\)

 $\text{sđ\hspace{0.17em} }\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}=100°.$

Do đó độ dài của cung nhỏ \(AB\) là:

\(l = \frac{{100}}{{180}} \cdot \pi  \cdot 8 = \frac{{40}}{9}\pi \left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Cung lớn \[AnB\] có số đo:

 $\text{sđ\hspace{0.17em} }\stackrel{⏜}{AnB}=360°-100°=260°$

Do đó độ dài của cung lớn là:

\(l = \frac{{260}}{{180}} \cdot \pi  \cdot 8 = \frac{{104}}{9}\pi \left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Ta có: \(n = 90^\circ \) và \(R = 4{\rm{\;cm}}\).

Do đó độ dài cung: \(l = \frac{{90}}{{180}} \cdot \pi  \cdot 6 = 3\pi \left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Ta có: \(n = 90^\circ \) và \(R = 6{\rm{\;cm}}\).

Do đó độ dài cung: \({{\rm{S}}_{\rm{q}}} = \frac{{36}}{{360}} \cdot \pi  \cdot {4^2} = 1,6\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

a) Ta có: \(\widehat {AOB} = 90^\circ \) nên . Do đó: \({{\rm{S}}_{\rm{q}}} = \frac{{90}}{{360}} \cdot \pi  \cdot {12^2} = 36\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

b) Ta có: \({{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}} = {{\rm{S}}_{\rm{q}}} - {{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}}\left( {{{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}}} \right.\) là diện tích hình viên phân; \({{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}}\) là diện tích tam giác \(AOB\) ).

\({S_{AOB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Vậy \({S_{{\rm{vp}}}} = 36\pi  - 72 \approx 41,0\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Gọi \({{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}}\) là diện tích hình viên phân, \({{\rm{S}}_{\rm{q}}}\) là diện tích hình quạt và \({{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}}\) là diện tích tam giác \(AOB\).

Ta có: \({{\rm{S}}_{\rm{q}}} = \frac{{60}}{{360}} \cdot \pi  \cdot {(5,1)^2} \approx 13,62\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Xét  cân tại \(O\left( {OA = OB = R} \right)\) có \(\widehat {AOB} = 60^\circ \) nên tam giác \(AOB\) đều.

Do đó \({{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}} = \frac{{{{\rm{R}}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{(5,1)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} \approx 11,26\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Do đó \({{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}} = {{\rm{S}}_{\rm{q}}} - {{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}} = 13,62 - 11,26 \approx 2,63\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).