Cho \(A\) và \(B\) là hai điểm trên đường tròn \(\left( {O;0,8} \right)\) sao cho \(\widehat {AO}I\) \( = 100^\circ \). Tính số đo và độ dài các cung có hai mút\[A,B\].

Gọi \({{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}}\) là diện tích hình viên phân, \({{\rm{S}}_{\rm{q}}}\) là diện tích hình quạt và \({{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}}\) là diện tích tam giác \(AOB\).

Ta có: \({{\rm{S}}_{\rm{q}}} = \frac{{60}}{{360}} \cdot \pi  \cdot {(5,1)^2} \approx 13,62\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Xét  cân tại \(O\left( {OA = OB = R} \right)\) có \(\widehat {AOB} = 60^\circ \) nên tam giác \(AOB\) đều.

Do đó \({{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}} = \frac{{{{\rm{R}}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{(5,1)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} \approx 11,26\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Do đó \({{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}} = {{\rm{S}}_{\rm{q}}} - {{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}} = 13,62 - 11,26 \approx 2,63\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

a) Ta có: \(\widehat {AOB} = 90^\circ \) nên . Do đó: \({{\rm{S}}_{\rm{q}}} = \frac{{90}}{{360}} \cdot \pi  \cdot {12^2} = 36\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

b) Ta có: \({{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}} = {{\rm{S}}_{\rm{q}}} - {{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}}\left( {{{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}}} \right.\) là diện tích hình viên phân; \({{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}}\) là diện tích tam giác \(AOB\) ).

\({S_{AOB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Vậy \({S_{{\rm{vp}}}} = 36\pi  - 72 \approx 41,0\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).