10 bài tập Một số bài toán tổng hợp về tứ giác nội tiếp có lời giải

Đáp án đúng là: D

Do tứ giác ABCP nội tiếp (vì có 4 đỉnh cùng thuộc đường tròn) và

Do ABCD là hình bình hành nên CD // AB

suy ra \[\widehat {ABC} + \widehat {BCP} = 180^\circ \] (2)

Từ (1) và (2) ta nhận được \[\widehat {BAP} = \widehat {ABC}\].

Mặt khác CP // AB nên ABCP là hình thang cân.

Do đó, đáp án A đúng.

Từ đó, ta suy ra AP = BC (3). Do đó, đáp án C đúng.

Do BC = AD (vì ABCD là hình bình hành) (4)

Từ (3), (4) có AP = AD.

Vậy cả ba đáp án A, B, C đều đúng.

Đáp án đúng là: B

Ta có tam giác BCD là tam giác đều nên

\[\widehat {BCD} = 60^\circ \] (1).

Mặt khác ∆ABC là tam giác cân tại A có \[\widehat {BAC} = 120^\circ \] hơn nữa tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\\\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {BAC} = 180^\circ \end{array} \right.\], suy ra \[\widehat {BCA} = 30^\circ \] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {DCA} = \widehat {DCB} + \widehat {BCD} = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ \].

Tương tự ta chứng minh được \[\widehat {DBA} = 90^\circ \].

Do đó, ∆ACD vuông tại C nên A, C, D thuộc đường tròn đường kính AD. (3)

∆ABD vuông tại B nên A, B, D thuộc đường tròn đường kính AD. (4)

Từ (3) và (4) suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Vậy tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.

Đáp án đúng là: D

• Nhận thấy

N, E, M, O cùng thuộc một đường tròn đường

kính NO hay tứ giác NEMO nội tiếp.

Do đó, đáp án A đúng.

• Ta có .

Do đó, ∆NEC ᔕ ∆NBE (g.g)

Suy ra \[\frac{{NE}}{{NB}} = \frac{{NC}}{{NE}}\] nên NB.NC = NE² .

Do đó, ý b đúng.

• Từ đó suy ra ∆NEH ᔕ ∆NME (c.g.c)

Suy ra \[\widehat {NEH} = \widehat {EMN}\]. Do đó, ý c đúng.

• Ta có \[\widehat {NME} = \widehat {EON}\] (tứ giác NEMO nội tiếp đường tròn) nên \[\widehat {NEH} = \widehat {NOE}\].

Mà góc ENO phụ với góc EON nên góc EON cũng phụ với góc NEH.

Suy ra \[EH \bot NO\].

Suy ra ∆OEF cân có ON là phân giác.

Xét ∆OEN và ∆OFN có:

\[\widehat {NOE} = \widehat {NOF}\] (co ON là phân giác góc EOF).

ON chung (gt)

OE = OF = R (gt)

Do đó, ∆OEN = ∆OFN (c.g.c)

Suy ra \[\widehat {NEO} = \widehat {NFO} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng)

Do đó phương án D sai.

Đáp án đúng là: D

• Ta có

Xét ∆BAC vuông tại A nên A, B, C thuộc đường tròn đường kính BC.

Xét ∆BDC vuông tại D nên D, B, C thuộc đường tròn đường kính BC.

Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác A, B, C, D nội tiếp.

• Xét tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên \[\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\] (cùng nhìn đoạn AD).

Do đó, phương án B đúng.

Xét đường tròn đường kính MC ta có 4 điểm M, C, D, S cùng thuộc đường tròn nên tứ giác MCSD là tứ giác nội tiếp.

Suy ra \[\widehat {MDA} = \widehat {SCM}\] (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện) (1)

Vì tứ giác ABCD nội tiếp (cmt) nên \[\widehat {ACB} = \widehat {ADB}\] (cùng nhìn đoạn AB) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {BCA} = \widehat {ACS}\] \[\left( { = \widehat {ADB}} \right)\]

Hay CA là phân giác của \[\widehat {SCB}\]. Do đó, ý C đúng.

• Giả sử tứ giác ABCS là tứ giác nội tiếp thì \[\widehat {ASB} = \widehat {BCA}\] (hai góc cùng nhìn đoạn AB)

Mà \[\widehat {BCA} = \widehat {BDA}\]; \[\widehat {BDA} \ne \widehat {BSA}\] (xét trong đường tròn đường kính CM).

Suy ra \[\widehat {BCA} \ne \widehat {BSA}\], do đó tứ giác ABCS không nội tiếp.

Do đó, ý D sai.

Đáp án đúng là: C

Theo đề, ta có:

\[\widehat {DBA} = \widehat {ACD} = 90^\circ \] nên chứng minh được bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn đường kính AD.

Suy ra tứ giác ABDC nội tiếp.

Lại có ∆ABC cân tại A có \[\widehat {BAC} = 130^\circ \] nên \[\widehat {ABC} = \widehat {BCA} = \frac{{180^\circ - 130^\circ }}{2} = 25^\circ \].

Ta có: \[\widehat {BDC} + \widehat {ABC} = 90^\circ \] nên \[\widehat {BDC} = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \].

Từ đó suy ra tam giác BCD cân tại D nên đáp án A đúng.

Xét tứ giác ABDC nội tiếp nên \[\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = 180^\circ \], suy ra \[\widehat {BDC} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 50^\circ \] nên D đúng.

Ta chưa đủ điều kiện để suy ra tứ giác ABDC là hình thoi.

Đáp án đúng là: C

Xét (O) có

Ta có ∆AKC vuông tại K nên A, K, C thuộc đường tròn đường kính AC (1).

∆AHC vuống tại H nên A, H, C thuộc đường tròn đường kính AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, H, C, K cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác AHCK nội tiếp.

Xét tứ giác nội tiếp AHCK có \[\widehat {KAC} = \widehat {KHC}\] nên \[\widehat {EDC} = \widehat {KHC}\left( { = \widehat {KAC}} \right)\] mà hai góc ở vị trí đồng vị nên KH // ED.

Xét tam giác CFD có KH // ED mà H là trung điểm của DC (do AB ⊥ DC) nên K là trung điểm của CF.

Xét tam giác ACF có AK vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên ∆ACF cân tại A.