Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Dựng đường thẳng d qua A song song với BC, đường thẳng d1>
qua C song song với BA, gọi D là giao điểm của d và d1. Dựng AE vuông với BD (E nằm trên BD), F là giao điểm của BD với đường tròn (O). Khi đó,(I). Tứ giác AECD nội tiếp.
(II). \[\widehat {AOF} = \widehat {CAE}\].
(III). AECF là hình bình hành.
(IV). DF.DB = 2AB2.
Số phát biểu đúng là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Quảng cáo
Trả lời:

Đáp án đúng là: C
• Ta có: \[\widehat {BAC} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Mà ABCD là hình bình hành nên AB // CD.
Do đó, \[\widehat {ACD} = \widehat {BAC} = 90^\circ \] (so le trong)
Suy ra ∆ACD vuông tại C nên A, C, D thuộc đường tròn đường kính AD (1).
∆ADE vuông tại E nên E, A, D thuộc đường tròn đường kính AD (2).
Từ (1) và (2) suy ra A, E, C, D cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác AEDC nội tiếp.
Do đó, ý (I) đúng.
• Do tứ giác AEDC nội tiếp nên \[\widehat {CAE} = \widehat {CDE}\] (góc nội tiếp chắn cung EC)
Mà AB // CD nên \[\widehat {CDE} = \widehat {ABD}\] (so le trong)
Suy ra \[\widehat {CAE} = \widehat {ABD}\]. (3)
Mà \[\widehat {ABD}\] là góc nội tiếp chắn cung AF, \[\widehat {AOF}\] là góc ở tâm chắn cung AF nên \[\widehat {AOF} = 2\widehat {ABD}\]. (4)
Từ (3) và (4) suy ra \[\widehat {AOF} = 2\widehat {CAE}\].
Do đó, ý (II) sai.
• Ta có: \[\widehat {BFC} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay FC ⊥ BD.
Có AE ⊥ BD nên FC // AE.
Lại có \[\widehat {AFB} = \widehat {ACB} = \widehat {CAD} = \widehat {FEC}\] nên AF // EC.
Do đó, tứ giác AECF là hình bình hành.
Suy ra, ý (III) đúng.
• Gọi giao điểm của AC và BD là I, do tứ giác ABCD là hình bình hành nên AI = IC; IB = ID; AB = CD.
Xét ∆DIC vuông tại C có CF ⊥ BD
Chứng minh được ∆CDI ᔕ ∆FDC (g.g) suy ra \[\frac{{CD}}{{FD}} = \frac{{DI}}{{DC}}\] hay CD2 = FD.DI.
Mà AB = DC nên AB2 = DF.DI.
Suy ra 2AB2 = 2.DF.DI mà 2DI = BD do đó, 2AB2 = DF.DB.
Do đó, ý (IV) đúng.
Vậy có 3 phát biểu đúng là (I), (III), (IV).
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
• Ta có: \[\widehat {BMA} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \[\widehat {BME} = 90^\circ \]
Xét ∆BME vuông tại M nên B, M ,E thuộc đường tròn đường kính BE (1)
Xét ∆EFB vuông tại F nên B, F, E thuộc đường tròn đường kính BE (2)
Từ (1) và (2) suy ra B, M, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BE hay tứ giác BMEF nội tiếp.
Do đó, (I) đúng.
• Ta có AB ⊥ CD tại F và AB là đường kính
Ta chứng minh được ∆OCD cân tại O do OC = OD = R nên F là trung điểm của CD.
Do đó, AB là đường trung trực của CD nên .
Ta có: và .
Suy ra \[\widehat {CMA} = \widehat {DMA}\], do đó AM là phân giác của góc CMD.
Vậy ý (II) đúng.
• Xét ∆ACE và ∆ACM có:
\[\widehat A\] chung (gt)
Suy ra ∆ACE ᔕ ∆ACM (g.g)
Suy ra \[\frac{{AC}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AC}}\] hay AC2 = AE.AM.
Do đó ý (III) đúng.
Vậy cả ba phát biểu trên đều đúng.
Câu 2
A. Tam giác cân tại F.
B. Tam giác cân tại C.
C. Tam giác cân tại A.
D. Tam giác đều.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Xét (O) có
\[\widehat {EAC} = \widehat {ADC}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung.Ta có ∆AKC vuông tại K nên A, K, C thuộc đường tròn đường kính AC (1).
∆AHC vuống tại H nên A, H, C thuộc đường tròn đường kính AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, H, C, K cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác AHCK nội tiếp.
Xét tứ giác nội tiếp AHCK có \[\widehat {KAC} = \widehat {KHC}\] nên \[\widehat {EDC} = \widehat {KHC}\left( { = \widehat {KAC}} \right)\] mà hai góc ở vị trí đồng vị nên KH // ED.
Xét tam giác CFD có KH // ED mà H là trung điểm của DC (do AB ⊥ DC) nên K là trung điểm của CF.
Xét tam giác ACF có AK vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên ∆ACF cân tại A.
Câu 3
A. AC = AB.
B. AC = BD.
C. BD = AB.
D. Cả ba đáp án trên đều sai.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. Bốn điểm O, E, M, N cùng thuộc một đường tròn.
B. NE2 = NC.NB.
C. \[\widehat {NEH} = \widehat {NME}\].
D. \[\widehat {NFO} < 90^\circ \].
>Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. Tứ giác ABCD nội tiếp.
B. \[\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\].
C. CA là phân giác của góc SCB.
D. Tứ giác ABCS nội tiếp.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. Tam giác ACD cân.
B. ABCD nội tiếp.
C. ABDC là hình thang.
D. ABDC là hình vuông.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.