Câu hỏi:
27/05/2025 24Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng a. Biết rằng AC vuông góc với BD. Khi đó để AB + CD đạt giá trị lớn nhất thì
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: B
Kẻ đường kính C
I của đường tròn (O).Ta có: \[\widehat {IAC} = 90^\circ ,\widehat {IDC} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn đường kính EC)
Từ đó, ta có AI ⊥ AC. Mặt khác theo giả thiết, có AC ⊥ BD. Kéo theo AI // BD.
Do đó, AIDB là hình thang.
Do hình thang AIDB nội tiếp (O) nên AIDB phải là hình thang cân.
Kéo theo AB = DI (các cạnh bên hình thang cân)
Từ đó, ta có AB2 + CD2 = DI2 + DC2 = IC2 = 4a2 (do ∆IDC vuông tại D)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho (AB2, BD2), ta có:
AB2 + BD2 ≥ 2AB.CD, suy ra 2(AB2 + BD2) ≥ AB2 + BD2 + 2AB.CD = (AB + CD)2
Kéo theo (AB + CD)2 ≤ 2.4a2 hay (AB + CD)2 ≤ \[2\sqrt 2 a\].
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.
Xét tam giác ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, \[\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\] (góc nội tiếp chắn cung AD), \[\widehat {BAC} = \widehat {DCB}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung BC).
Do đó, ∆ABI = ∆DCI (g.c.g)
Suy ra AI = ID, IB = IC.
Suy ra AC = AI + IC = ID + IB = BD.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD vuông góc với AB tại F. Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC (M khác B và C), hai đường thẳng AM và CD cắt nhau tại E. Khi đó,
(I). Tứ giác BMEF nội tiếp.
(II). MA là phân giác của góc CMD.
(III). AC2 = AE.AM.
Số phát biểu đúng là
Xem đáp án »
27/05/2025
136
Câu 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Dựng đường thẳng d qua A song song với BC, đường thẳng d1
qua C song song với BA, gọi D là giao điểm của d và d1. Dựng AE vuông với BD (E nằm trên BD), F là giao điểm của BD với đường tròn (O). Khi đó,(I). Tứ giác AECD nội tiếp.
(II). \[\widehat {AOF} = \widehat {CAE}\].
(III). AECF là hình bình hành.
(IV). DF.DB = 2AB2.
Số phát biểu đúng là
Xem đáp án »
27/05/2025
37
Câu 3:
Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M ∈ OA (M ≠ O, A). Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d). Có H là giao điểm của AC với d và F là giao điểm của HE với đường tròn (O)). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
Xem đáp án »
27/05/2025
25
Câu 4:
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với A tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK ⊥ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Tam giác ACF là
Xem đáp án »
27/05/2025
17
Câu 5:
Cho tam giác ABC cân tại A có \[\widehat {BAC} = 120^\circ \], trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy D sao cho BCD là tam giác đều. Khi đó
Xem đáp án »
27/05/2025
10
Câu 6:
Cho tam giác ABC cân tại A có \[\widehat {BAC} = 130^\circ \]. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, kẻ Bx ⊥ BA, Cx ⊥ CA. Chọn đáp án sai trong các đáp án dưới đây.
Xem đáp án »
27/05/2025
10
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
-
12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức có lời giải
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận