Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng a. Biết rằng AC vuông góc với BD. Khi đó để AB + CD đạt giá trị lớn nhất thì

Đáp án đúng là: D

• Ta có: \[\widehat {BMA} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \[\widehat {BME} = 90^\circ \]

Xét ∆BME vuông tại M nên B, M ,E thuộc đường tròn đường kính BE (1)

Xét ∆EFB vuông tại F nên B, F, E thuộc đường tròn đường kính BE (2)

Từ (1) và (2) suy ra B, M, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BE hay tứ giác BMEF nội tiếp.

Do đó, (I) đúng.

• Ta có AB ⊥ CD tại F và AB là đường kính

Ta chứng minh được ∆OCD cân tại O do OC = OD = R nên F là trung điểm của CD.

Do đó, AB là đường trung trực của CD nên .

Ta có: và .

Suy ra \[\widehat {CMA} = \widehat {DMA}\], do đó AM là phân giác của góc CMD.

Vậy ý (II) đúng.

• Xét ∆ACE và ∆ACM có:

\[\widehat A\] chung (gt)

Suy ra ∆ACE ᔕ ∆ACM (g.g)

Suy ra \[\frac{{AC}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AC}}\] hay AC² = AE.AM.

Do đó ý (III) đúng.

Vậy cả ba phát biểu trên đều đúng.

Đáp án đúng là: C

• Ta có: \[\widehat {BAC} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Mà ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Do đó, \[\widehat {ACD} = \widehat {BAC} = 90^\circ \] (so le trong)

Suy ra ∆ACD vuông tại C nên A, C, D thuộc đường tròn đường kính AD (1).

∆ADE vuông tại E nên E, A, D thuộc đường tròn đường kính AD (2).

Từ (1) và (2) suy ra A, E, C, D cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác AEDC nội tiếp.

Do đó, ý (I) đúng.

• Do tứ giác AEDC nội tiếp nên \[\widehat {CAE} = \widehat {CDE}\] (góc nội tiếp chắn cung EC)

Mà AB // CD nên \[\widehat {CDE} = \widehat {ABD}\] (so le trong)

Suy ra \[\widehat {CAE} = \widehat {ABD}\]. (3)

Mà \[\widehat {ABD}\] là góc nội tiếp chắn cung AF, \[\widehat {AOF}\] là góc ở tâm chắn cung AF nên \[\widehat {AOF} = 2\widehat {ABD}\]. (4)

Từ (3) và (4) suy ra \[\widehat {AOF} = 2\widehat {CAE}\].

Do đó, ý (II) sai.

• Ta có: \[\widehat {BFC} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay FC ⊥ BD.

Có AE ⊥ BD nên FC // AE.

Lại có \[\widehat {AFB} = \widehat {ACB} = \widehat {CAD} = \widehat {FEC}\] nên AF // EC.

Do đó, tứ giác AECF là hình bình hành.

Suy ra, ý (III) đúng.

• Gọi giao điểm của AC và BD là I, do tứ giác ABCD là hình bình hành nên AI = IC; IB = ID; AB = CD.

Xét ∆DIC vuông tại C có CF ⊥ BD

Chứng minh được ∆CDI ᔕ ∆FDC (g.g) suy ra \[\frac{{CD}}{{FD}} = \frac{{DI}}{{DC}}\] hay CD² = FD.DI.

Mà AB = DC nên AB² = DF.DI.

Suy ra 2AB² = 2.DF.DI mà 2DI = BD do đó, 2AB² = DF.DB.

Do đó, ý (IV) đúng.

Vậy có 3 phát biểu đúng là (I), (III), (IV).