Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng a. Biết rằng AC vuông góc với BD. Khi đó để AB + CD đạt giá trị lớn nhất thì
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: B
Kẻ đường kính C
I của đường tròn (O).Ta có: \[\widehat {IAC} = 90^\circ ,\widehat {IDC} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn đường kính EC)
Từ đó, ta có AI ⊥ AC. Mặt khác theo giả thiết, có AC ⊥ BD. Kéo theo AI // BD.
Do đó, AIDB là hình thang.
Do hình thang AIDB nội tiếp (O) nên AIDB phải là hình thang cân.
Kéo theo AB = DI (các cạnh bên hình thang cân)
Từ đó, ta có AB2 + CD2 = DI2 + DC2 = IC2 = 4a2 (do ∆IDC vuông tại D)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho (AB2, BD2), ta có:
AB2 + BD2 ≥ 2AB.CD, suy ra 2(AB2 + BD2) ≥ AB2 + BD2 + 2AB.CD = (AB + CD)2
Kéo theo (AB + CD)2 ≤ 2.4a2 hay (AB + CD)2 ≤ \[2\sqrt 2 a\].
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.
Xét tam giác ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, \[\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\] (góc nội tiếp chắn cung AD), \[\widehat {BAC} = \widehat {DCB}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung BC).
Do đó, ∆ABI = ∆DCI (g.c.g)
Suy ra AI = ID, IB = IC.
Suy ra AC = AI + IC = ID + IB = BD.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập