6 bài tập Ứng dụng của mặt cầu trong thực tiễn (có lời giải)

Vì quả bóng bàn hình cầu có bán kính R = 2cm nên diện tích bề mặt quả bón là:

\[S = 4\pi {R^2} = 4.3,{14.2^2} = 50,24\left( {c{m^2}} \right)\]

Vậy diện tích bề mặt quả bóng bàn là 50,24cm².

Vì quả pha lê hình cầu có diện tích S_{mặt cầu} = 144p cm² nên:

\[\begin{array}{l}S = 4\pi {R^2}\\{R^2} = \frac{S}{{4\pi }}\\{R^2} = \frac{{144\pi }}{{4\pi }}\\{R^2} = 36\\ \Rightarrow R = 6\left( {cm} \right)\end{array}\]

Vậy thể tích quả pha lê là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {.6^3} = 228\pi \)cm³.

Vì Trái Đất hình cầu có bán kính R = 6370 km nên diện tích bề mặt Trái Đất là:

                     S_{bề mặt} = 4pR²

                               = 4. 3,14. 6370²

                               = 509.645.864 (km²)

Vậy diện tích bề mặt Trái Đất bị bao phủ bởi nước là (100% – 29%). 509.645.864 = 361.848.563 (km²)

Diện tích nắp hộp cần sơn là: \({S_1} = \frac{{4\pi {r^2}}}{2} = 50\pi \)\(c{m^2}\).

Diện tích than hộp cần sơn là: \({S_2} = 2\pi rh = 60\pi \)\(c{m^2}\).

Diện tích \(S\)cần sơn là: \(S = {S_1} + {S_2} = 50\pi  + 60\pi  = 110\pi \)\(c{m^2}\).

+ Thể tích nước được đựng đầy trong bể là \[V = 2.3.2 = 12\left( {{m^3}} \right)\].

+ Thể tích nước đựng đầy trong gáo là \[{V_g} = \pi {4^2}.5 = 80\pi \left( {c{m^3}} \right) = \frac{\pi }{{12500}}\left( {{m^3}} \right).\]

+ Mội ngày bể được múc ra \[170\] gáo nước tức là trong một ngày lượng được được lấy ra bằng.

\[{V_m} = 170.{V_g} = \frac{{17}}{{1250}}\pi \left( {{m^3}} \right)\].

+ Ta có \[\frac{V}{{{V_m}}} = \frac{{12}}{{\frac{{17}}{{1250}}\pi }} \simeq 280,8616643 \Rightarrow \] sau \[281\] ngày bể sẽ hết nước.

Đường kính của hình cầu bằng chiều cao của bình nước nên \[OS = 2OH\].

Ta có thể tích nước tràn ra ngoài là thể tích của nửa quả cầu chìm trong bình nước:

\(\begin{array}{l}18\pi  = \frac{{{V_C}}}{2} = \frac{{2\pi O{H^3}}}{3}\\ \Rightarrow OH = 3.\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\\ \Rightarrow O{B^2} = 12.\end{array}\)

Thể tích bình nước ( thể tích nước ban đầu): \({V_n} = \frac{{\pi .OS.O{B^2}}}{3} = 24\pi \) \(\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Thể tích nước còn lại là: \(24\pi  - 18\pi  = 6\pi \) \(\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).