3 bài tập Rút gọn biểu thức (có lời giải)

a) Ta có \(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt {15} } \right)}^2}}  + \sqrt {15} \)\( = \left| {4 - \sqrt {15} } \right| + \sqrt {15} \)\( = 4 - \sqrt {15}  + \sqrt {15} \)\( = 4\).

( Vì \(4 - \sqrt {15}  > 0\) nên \(\left| {4 - \sqrt {15} } \right| = 4 - \sqrt {15} \))

b) Ta có

\(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \)\( = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| + \left| {1 - \sqrt 3 } \right|\)\( = \left( {2 - \sqrt 3 } \right) + \left[ { - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)} \right]\)\( = 2 - \sqrt 3  + \sqrt 3  - 1\)\( = 1\)

                ( Vì \(2 - \sqrt 3  > 0\) nên \(\left| {2 - \sqrt 3 } \right| = 2 - \sqrt 3 \) và \(1 - \sqrt 3  < 0\) nên \(\left| {1 - \sqrt 3 } \right| = \sqrt 3  - 1\))  

c) Ta có \(\sqrt {7 + 4\sqrt 3 }  + \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } \)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 2.\sqrt 3 .2 + {2^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.\sqrt 3 .2 + {2^2}} \)    

           \( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}} \)\( = \left| {\sqrt 3  + 2} \right| + \left| {\sqrt 3  - 2} \right|\)\( = \left( {\sqrt 3  + 2} \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\)\( = \sqrt 3  + 2 + 2 - \sqrt 3  = 4\).   

d) Ta có \[\sqrt {49{a^2}} \]\( = \sqrt {{{\left( {7a} \right)}^2}} \)\( = \left| {7a} \right|\)\( =  - 7a\). ( Vì \(a < 0\) nên \(7a < 0\), suy ra \(\left| {7a} \right| =  - 7a\))          

a). Ta có \[\sqrt {25{a^2}}  + 3a\]\( = \sqrt {{{\left( {5a} \right)}^2}}  + 3a\)\( = \left| {5a} \right| + 3a\)\( =  - 5a + 3a =  - 2a\).

(Vì \(a < 0\) nên \(5a < 0\), suy ra \(\left| {5a} \right| =  - 5a\))          

b). Ta có \[\sqrt {16{a^4}}  + 6{a^2}\]\( = \sqrt {{{\left( {4{a^2}} \right)}^2}}  + 6{a^2}\)\( = \left| {4{a^2}} \right| + 6{a^2}\)\( = 4{a^2} + 6{a^2} = 10{a^2}\).

(Vì \({a^2} \ge 0\), với mọi \(a\) nên \(4{a^2} \ge 0\), với mọi \(a\), suy ra \(\left| {4{a^2}} \right| = 4{a^2}\))         

c). Ta có \[3\sqrt {9{a^6}}  - 6{a^3}\]\( = 3\sqrt {{{\left( {3{a^3}} \right)}^2}}  - 6{a^3}\)\( = 3\left| {3{a^3}} \right| - 6{a^3}\)\( = 3.\left( { - 3{a^3}} \right) - 6{a^3} =  - 15{a^3}\).

(Vì \(a \le 0\) nên \(3{a^3} \le 0\), suy ra \(\left| {3{a^3}} \right| =  - 3{a^3}\)) 

d). Ta có \[\sqrt {{a^2} + 6a + 9}  + \sqrt {{a^2} - 6a + 9} \]\( = \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2}} \)\( = \left| {a + 3} \right| + \left| {a - 3} \right|\)\( = \left( {a + 3} \right) + \left( {3 - a} \right)\)

 \( = a + 3 + 3 - a = 6\).

(Vì \( - 3 \le a \le 3\) nên \(a + 3 \ge 0\) và \(a - 3 \le 0\), do đó \(\left| {a + 3} \right| = a + 3\) và \(\left| {a - 3} \right| = 3 - a\)) 

a). Với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 4\) ta có \(a - 4 = {\left( {\sqrt a } \right)^2} - {2^2}\)\( = \left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)\) nên:

\[\frac{{\sqrt a  - 2}}{{a - 4}}\]\( = \frac{{\sqrt a  - 2}}{{\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  + 2} \right)}}\)\( = \frac{1}{{\sqrt a  + 2}}\).  

b). Với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 1\) ta có \[\frac{{a + 2\sqrt a  + 1}}{{a - 1}}\]\[ = \frac{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + 2\sqrt a  + 1}}{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - 1}}\]\( = \frac{{{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  - 1}}\).