6 bài tập Áp dụng bất đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức (có lời giải)

Ta có: \(A = {x^2} - 6x + 10\)\( = {x^2} - 6x + 9 + 1\)\( = {(x - 3)^2} + 1 \ge 1\)(dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x = 3\).

Do đó \(\min {\rm{A}} = 1\) khi và chỉ khi \({\rm{x}} = 3\).

\(B = 5{x^2} - 10x + 3\)\( = 5{x^2} - 10x + 5 - 2.\)\( = 5\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 2\)\( = 5{(x - 1)^2} - 2 \ge - 2\)(dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x = 1\)) .

Vậy \(\min B = - 2\) khi và chỉ khi \(x = 1\).

\(C = - {x^2} + 5x - 4\)\( = - \left( {{x^2} - 5x + 4} \right)\)

\( = - \left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4} + 4} \right)\)\( = - \left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{9}{4}} \right]\)

\( = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{9}{4} \le \frac{9}{4}\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{5}{2})\)

Vậy \(\max C = \frac{9}{4}\) khi \(x = \frac{5}{2}\).

Ta có: \(D = 5 - x - \frac{1}{x}\)\( = 5 - \left( {x + \frac{1}{x}} \right)\).

Vì \(x + \frac{1}{x} \ge 2\) nên \(D \le 3\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{x}\) hay \(x = 1\) ).

Vậy \(\max {\rm{D}} = 3\) khi và chỉ khi \({\rm{x}} = 1\).

Ta có: \(E = 2{x^2} + 8x + {y^2} - 10y + 43\)

\( = 2{x^2} + 8x + 8 + {y^2} - 10y + 25 + 10\)

\( = 2\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + {(y - 5)^2} + 10\)

\( = 2{(x + 2)^2} + {(y - 5)^2} + 10 \ge 10\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x =  - 2\) và \(y = 5\) ).

Vây \({\rm{min}}\,\,{\rm{E}} = 10\) khi và chỉ khi \({\rm{x}} =  - 2\) và \({\rm{y}} = 5\).

Ta có \(F = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2}}\)\( = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} - 2}}{{{x^2} + 2}} = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{x^2} + 2}} - \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2}}\)\( = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{x^2} + 2}} - 1 \ge  - 1.\)(dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi\(x =  - 1\))

Vậy min \({\rm{F}} =  - 1\) khi và chỉ khi \({\rm{x}} =  - 1\).