Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({\rm{E}} = 2{{\rm{x}}^2} + 8{\rm{x}} + {{\rm{y}}^2} - 10{\rm{y}} + 43\).

Ta có: \(A = {x^2} - 6x + 10\)\( = {x^2} - 6x + 9 + 1\)\( = {(x - 3)^2} + 1 \ge 1\)(dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x = 3\).

Do đó \(\min {\rm{A}} = 1\) khi và chỉ khi \({\rm{x}} = 3\).

\(C = - {x^2} + 5x - 4\)\( = - \left( {{x^2} - 5x + 4} \right)\)

\( = - \left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4} + 4} \right)\)\( = - \left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{9}{4}} \right]\)

\( = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{9}{4} \le \frac{9}{4}\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{5}{2})\)

Vậy \(\max C = \frac{9}{4}\) khi \(x = \frac{5}{2}\).