Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({\rm{E}} = 2{{\rm{x}}^2} + 8{\rm{x}} + {{\rm{y}}^2} - 10{\rm{y}} + 43\).

Ta có: \(A = {x^2} - 6x + 10\)\( = {x^2} - 6x + 9 + 1\)\( = {(x - 3)^2} + 1 \ge 1\)(dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x = 3\).

Do đó \(\min {\rm{A}} = 1\) khi và chỉ khi \({\rm{x}} = 3\).

Ta có \(F = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2}}\)\( = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} - 2}}{{{x^2} + 2}} = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{x^2} + 2}} - \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2}}\)\( = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{x^2} + 2}} - 1 \ge  - 1.\)(dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi\(x =  - 1\))

Vậy min \({\rm{F}} =  - 1\) khi và chỉ khi \({\rm{x}} =  - 1\).