3 bài tập Đường tròn liên quan đến tứ giác nội tiếp đường tròn, chứng minh hệ thức, trung điểm, tỉ lệ cạnh (có lời giải)

a) Chứng minh tứ giác \(CEHF\) nội tiếp.

Ta có:

\(HF \bot AC\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HFC} = 90^\circ \)

\(HE \bot BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HEC} = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(CEHF\) có: \(\widehat {HFC} + \widehat {HEC} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \) mà hai góc này đối nhau

\( \Rightarrow CEHF\) là tứ giác nội tiếp.

b) Kéo dài \(FE\) cắt đường tròn đường kính \(BC\) tại \(M\). Chứng minh \(BM = BN\).

Ta có:

\(HN \bot AB\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {ANH} = 90^\circ \)

\(HF \bot AC\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {AFH} = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(AFHN\) có: \(\widehat {ANH} + \widehat {AFH} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \) mà hai góc này đối nhau

\( \Rightarrow AFHN\) là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {NAH} = \widehat {NFH}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(HN\))                                             (1)

Tứ giác \(HECF\) nội tiếp (cmt)

\( \Rightarrow \widehat {HFE} = \widehat {HCE}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(HE\)).                                                   (2)

Ta có: \(\widehat {BAE} = \widehat {NCB}\) (hai góc cùng phụ với \(\widehat {ABC}\)) \( \Rightarrow \widehat {NAH} = \widehat {HCE}\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat {NFH} = \widehat {HFE}\) hay \(\widehat {NFB} = \widehat {BFM}\).

Xét \(\left( O \right)\) có: \(\widehat {NFB} = \widehat {BFM}\):

 (hai góc nội tiếp bằng nhau hai cung chắn bằng nhau).

\( \Rightarrow BN = BM\) (hai cung chắn bằng nhau hai dây bằng nhau) (đpcm).

c) Biết \(AH = BC\). Tính số đo góc \(A\) của tam giác \(ABC\).

Xét hai tam giác vuông \(FAH\) và \(FBH\) ta có:

\(AH = BC\) (giả thiết)

\(\widehat {FAH} = \widehat {FBC}\) (vì cùng phụ với góc \(\widehat {ACE}\))

Vậy \(\Delta FAH = \Delta FBC\)

\( \Rightarrow FA = FB\)

Mặt khác tam giác \(AFB\) vuông có \(FA = FB\) nên nó vuông cân

Vậy \(\widehat {BAC} = {45^ \circ }\).

a)Xét tứ giác \(BMEF\) có:

\(\widehat {BFE\,} = {90^0}\) (gt)

\(\widehat {BFE\,} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \widehat {BFE\,} + \widehat {BME\,} = {180^0}\)

Mà hai góc \(\widehat {BFE\,},\,\,\widehat {BME\,}\) nằm ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(BMEF\) nội tiếp

b) Ta có \(AB \bot CD \Rightarrow F\) là trung điểm của \(CD\)(mối liên hệ giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow AB\) là đường trung trực của \(CD\) \( \Rightarrow \)sđ = sđ

Ta có \(\widehat {AMC\,} = \frac{1}{2}\)sđ và \(\widehat {AMD\,} = \frac{1}{2}\)sđ

\( \Rightarrow \widehat {AMC\,} = \widehat {AMD\,} \Rightarrow AM\) là phân giác của \(\widehat {CMD\,}\)

c) Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta AMC\) có: \(\widehat {A\,\,}:\) chung

\(\widehat {AMC\,} = \frac{1}{2}\)sđ và \(\widehat {ACD\,} = \frac{1}{2}\)sđ\( \Rightarrow \widehat {AMC\,} = \widehat {ACD\,}\)

 (g-g) \( \Rightarrow \frac{{AC}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow A{C^2} = AE.AM\)

d) Trên \(CI\) lấy điểm \(H\) sao cho \(HE\) vuông góc với \(CD\)

Cần chứng minh tứ giác \(CEHN\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CH\), ta đi chứng minh \(\widehat {CNE\,} = \widehat {CHE\,}\)

Ta có:  tứ giác \(BMNI\) nội tiếp

\( \Rightarrow \widehat {NIB\,} + \widehat {NMB\,} = {180^0} \Rightarrow \widehat {NIB\,} = {90^0} \Rightarrow \) tứ giác \(ACNI\) nội tiếp

Ta có: \(\widehat {CHE\,} = \widehat {CIA\,}\) (đồng vị); \(\widehat {CNE\,} = \widehat {CIA\,}\) (cùng chắn cung )

\( \Rightarrow \widehat {CNE\,} = \widehat {CHE\,} \Rightarrow \) tứ giác \(CEHN\) nội tiếp

Mà \(\widehat {CEH\,} = {90^0} \Rightarrow CH\) là đường kính

\( \Rightarrow \) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CEN\) nằm trên \(CI\).