Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AE , BF và CN cắt nhau tại H ( E ∈ BC , F ∈ AC , N ∈ AB ). a) Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp.

a) Chứng minh tứ giác \(CEHF\) nội tiếp.

Ta có:

\(HF \bot AC\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HFC} = 90^\circ \)

\(HE \bot BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HEC} = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(CEHF\) có: \(\widehat {HFC} + \widehat {HEC} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \) mà hai góc này đối nhau

\( \Rightarrow CEHF\) là tứ giác nội tiếp.

b) Kéo dài \(FE\) cắt đường tròn đường kính \(BC\) tại \(M\). Chứng minh \(BM = BN\).

Ta có:

\(HN \bot AB\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {ANH} = 90^\circ \)

\(HF \bot AC\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {AFH} = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(AFHN\) có: \(\widehat {ANH} + \widehat {AFH} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \) mà hai góc này đối nhau

\( \Rightarrow AFHN\) là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {NAH} = \widehat {NFH}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(HN\))                                             (1)

Tứ giác \(HECF\) nội tiếp (cmt)

\( \Rightarrow \widehat {HFE} = \widehat {HCE}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(HE\)).                                                   (2)

Ta có: \(\widehat {BAE} = \widehat {NCB}\) (hai góc cùng phụ với \(\widehat {ABC}\)) \( \Rightarrow \widehat {NAH} = \widehat {HCE}\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat {NFH} = \widehat {HFE}\) hay \(\widehat {NFB} = \widehat {BFM}\).

Xét \(\left( O \right)\) có: \(\widehat {NFB} = \widehat {BFM}\):

 (hai góc nội tiếp bằng nhau hai cung chắn bằng nhau).

\( \Rightarrow BN = BM\) (hai cung chắn bằng nhau hai dây bằng nhau) (đpcm).

c) Biết \(AH = BC\). Tính số đo góc \(A\) của tam giác \(ABC\).

Xét hai tam giác vuông \(FAH\) và \(FBH\) ta có:

\(AH = BC\) (giả thiết)

\(\widehat {FAH} = \widehat {FBC}\) (vì cùng phụ với góc \(\widehat {ACE}\))

Vậy \(\Delta FAH = \Delta FBC\)

\( \Rightarrow FA = FB\)

Mặt khác tam giác \(AFB\) vuông có \(FA = FB\) nên nó vuông cân

Vậy \(\widehat {BAC} = {45^ \circ }\).