Cho hai đường tròn ( O ; R ) và ( O ′ ; r ) tiếp xúc ngài tại A ( R > r ) . Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này (với B ∈ ( O ) và C ∈ ( O ′ ) .

a) Chứng minh \[OM\] vuông góc với \[{O^'}M\].

Vì \[MA\] và \[MB\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]nên \[MO\]

là tia phân giác của \[\widehat {AMB}\]. Do đó \[\widehat {OMA} = \frac{1}{2}\widehat {BMA}\]

\[MA\] và \[MC\] là tiếp tuyến của $\left(O^{\text{'}}\right)$ nên MO 

là tia phân giác của \[\widehat {AMC}\]. Do đó $\widehat{O^{\text{'}}MA}=\frac{1}{2}\widehat{CMA}$

Suy ra  $\widehat{OM{O}^{\text{'}}}=\widehat{OMA}+\widehat{O^{\text{'}}MA}=\frac{1}{2}\left(\widehat{BMA}+\widehat{CMA}\right)=\frac{1}{2}{.180}^0={90}^0$

$\Rightarrow OM\perp O^{\text{'}}M$

b) Gọi \[E\] là giao điểm của \[AB\] với \[OM\] và \[F\] là giao điểm của\[AC\]với O'M. Chứng minh tứ giác OEFO' nội tiếp một đường tròn.

Ta có:

\[MB = MA\] ( tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

\[OB = OA\]( bán kính \[R\])

\[ \Rightarrow MO\] là đường trung trực của\[AB\]

\[ \Rightarrow MO \bot AB\] tại \[E \Rightarrow \widehat {MEA} = {90^0}\]

Tương tự, ta có: \[\widehat {MFA} = {90^0}\]

Xét tứ giác \[MEAF\] có: $\widehat{MEA}=\widehat{MFE}=\widehat{OM{O}^{\text{'}}}={90}^0$

\[ \Rightarrow \] tứ giác \[MEAF\]là hình chữ nhật ( theo dấu hiệu nhận biết)

\[ \Rightarrow MEAF\]là tứ giác nội tiếp

\[ \Rightarrow \widehat {MFE} = \widehat {MAE}\]

Trong tam giác vuông \[AOM\], ta có \[\widehat {MAE} = \widehat {OAE}\]

Vì vậy $\widehat{MFE}=\widehat{EO{O}^{\text{'}}}$

Do đó, tứ giác OEFO' nội tiếp một đường tròn (góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện)

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OEFO', \[K\] là trung điểm của \[AM\]. Chứng minh $O{O}^{\text{'}}=2IK.$

Cần xác định tâm \[I\] của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OEFO'

Vẽ hai đường trung trực của hai đoạn thẳng \[EO\] và FO' lần lượt cắt \[EO\] và FO' tại \[H\]và \[J\]. Hai đường trung trực này cắt nhau tại \[I\]. \[I\] chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OEFO'

Qua \[O\] vẽ đường thẳng song song với MO'. Qua O' vẽ đường thẳng song song với\[MO\]. Hai đường thẳng này cắt nhau tại \[N\]. Theo cách vẽ ta được tứ giác MONO' là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

Suy ra OO' = MN (hai đường chéo của hình chữ nhật)

Chứng minh I là trung điểm của AN:

Hình thang \[AEON\]có \[HE = HO\]và \[HI\]//\[EA\]//\[ON\]

\[ \Rightarrow HI\] đi qua trung điểm của \[AN\] (1)

Tương tự, ta có \[JI\] đi qua trung điểm của \[AN\] (2)

Mà \[I = HI \cap JI\] (3)

Từ (1), (2) và (3) \[ \Rightarrow I\] là trung điểm của \[AN\]

Xét \[\Delta AMN\]có \[IK\]là đường trung bình của tam giác

$\begin{array}{l}\Rightarrow IK=\frac{1}{2}MN\\ \Rightarrow IK=\frac{1}{2}O{O}^{\text{'}}\end{array}$