Cho đường tròn tâm O , đường kính AB , dây CD vuông góc với AB tại F . Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC ( M khác B , M khác C ), hai đường thẳng AM và CD cắt nhau tại

a)Xét tứ giác \(BMEF\) có:

\(\widehat {BFE\,} = {90^0}\) (gt)

\(\widehat {BFE\,} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \widehat {BFE\,} + \widehat {BME\,} = {180^0}\)

Mà hai góc \(\widehat {BFE\,},\,\,\widehat {BME\,}\) nằm ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(BMEF\) nội tiếp

b) Ta có \(AB \bot CD \Rightarrow F\) là trung điểm của \(CD\)(mối liên hệ giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow AB\) là đường trung trực của \(CD\) \( \Rightarrow \)sđ = sđ

Ta có \(\widehat {AMC\,} = \frac{1}{2}\)sđ và \(\widehat {AMD\,} = \frac{1}{2}\)sđ

\( \Rightarrow \widehat {AMC\,} = \widehat {AMD\,} \Rightarrow AM\) là phân giác của \(\widehat {CMD\,}\)

c) Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta AMC\) có: \(\widehat {A\,\,}:\) chung

\(\widehat {AMC\,} = \frac{1}{2}\)sđ và \(\widehat {ACD\,} = \frac{1}{2}\)sđ\( \Rightarrow \widehat {AMC\,} = \widehat {ACD\,}\)

 (g-g) \( \Rightarrow \frac{{AC}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow A{C^2} = AE.AM\)

d) Trên \(CI\) lấy điểm \(H\) sao cho \(HE\) vuông góc với \(CD\)

Cần chứng minh tứ giác \(CEHN\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CH\), ta đi chứng minh \(\widehat {CNE\,} = \widehat {CHE\,}\)

Ta có:  tứ giác \(BMNI\) nội tiếp

\( \Rightarrow \widehat {NIB\,} + \widehat {NMB\,} = {180^0} \Rightarrow \widehat {NIB\,} = {90^0} \Rightarrow \) tứ giác \(ACNI\) nội tiếp

Ta có: \(\widehat {CHE\,} = \widehat {CIA\,}\) (đồng vị); \(\widehat {CNE\,} = \widehat {CIA\,}\) (cùng chắn cung )

\( \Rightarrow \widehat {CNE\,} = \widehat {CHE\,} \Rightarrow \) tứ giác \(CEHN\) nội tiếp

Mà \(\widehat {CEH\,} = {90^0} \Rightarrow CH\) là đường kính

\( \Rightarrow \) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CEN\) nằm trên \(CI\).