Câu hỏi:

19/08/2025 5,974

Cho tam giác nhọn ABC có AD, BE, CF là ba đường cao cắt nhau tại H. M, N lần lượt là hình chiếu của B, C trên đường thẳng EF. Chứng minh rằng:

a) $Δ A E F ~ Δ A B C$

b) H là tâm đường tròn nội tiếp $Δ D E F$

c) A, B, C là tâm đường tròn bàng tiếp của $Δ D E F$

d) $D E + D F = M N$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập theo tuần Toán 9 - Tuần 14 !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác nhọn ABC có AD, BE, CF là ba đường cao cắt nhau tại H. M, N (ảnh 1)

a) Xét $Δ A B E$ và $Δ A C F$ có $\hat{B A E}$ chung; $\hat{A E B} = \hat{A F C} = 90^{0}$

$\Rightarrow Δ A B E ~ Δ A C F (g . g) \Rightarrow \frac{A B}{A C} = \frac{A E}{A F}$

Xét $Δ A E F$ và $Δ A B C$ có: $\hat{E A F}$ chung; $\frac{A E}{A B} = \frac{A F}{A C} (c m t) \Rightarrow Δ A E F ~ Δ A B C$

b) $Δ A E F ~ Δ A B C \Rightarrow \hat{A E F} = \hat{A B C}$

cmtt $\Rightarrow \hat{D E C} = \hat{A B C} \Rightarrow \hat{A E F} = \hat{D E C}$

Ta có $\hat{D E C} + \hat{H E D} = \hat{A E F} + \hat{H E F} (= 90^{0})$ nên $\hat{H E D} = \hat{H E F} \Rightarrow E H$ là đường phân giác của $Δ D E F$ . Chứng mnh tương tự ta cũng có DH là đường phân giác $Δ D E F \Rightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp $Δ D E F$

c) Gọi Fx là tia đối của tia FD

Ta có: $\hat{x F A} + \hat{D F C} = \hat{A F E} + \hat{E F C} (= 90^{0})$ mà $\hat{D F C} = \hat{E F C}$ , do đó $\hat{x F A} = \hat{A F E}$

A là giao điểm của đường phân giác $\hat{D}$ và đường phân giác ngoài đỉnh F nên A là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc D của $Δ D E F .$ Chứng minh tương tự ta cũng có B, C là tâm đường tròn bàng tiếp $Δ D E F .$

d) Theo bài $P_{D E F} = 2 E M, P_{D E F} = 2 N F$

$\begin{array}{l} \Rightarrow D E + D F + E F = E M + N F \\ \Rightarrow D E + D F + E F = M N - E N + N F \\ \Leftrightarrow D E + D F + E F = M N + E F \\ \Leftrightarrow D E + D F = M N \end{array}$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho $Δ A B C$ nhọn. Đường tròn tâm O, đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM. AH cắt BC tại K

a) Chứng minh $A K ⊥ B C$

b) Gọi E là trung điểm của AH. Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Cho biết $\sin \overset{}{B A C} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Hãy so sánh AH và BC.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O, đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N (ảnh 1)

a) $Δ B M C$ có $O M = O B = O C = \frac{B C}{2} = R \Rightarrow Δ B M C$ vuông tại M (định lý đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

$\Rightarrow B M ⊥ M C (1), C m t t \Rightarrow B N ⊥ N C (2)$

Từ (1) và (2) suy ra BN, CM là hai đường cao của tam giác $A B C \Rightarrow H$ là trực tâm $Δ A B C$ $\Rightarrow A K ⊥ B C .$

b) $Δ A M H$ vuông tại M, ME là đường trung tuyến $\Rightarrow A E = E M \Rightarrow Δ A E M$ cân $\Rightarrow \hat{A E M} = \hat{E M A} (3)$ mà $\hat{E M A} = \hat{O C M}$ (cùng phụ với góc B) (4)

Và $\hat{O C M} = \hat{O M C}$ (tính chất tam giác cân ) (5)

Từ $(3), (4), (5) \Rightarrow \hat{E M A} = \hat{O M C}$ mà $\hat{E M A} + \hat{E M H} = 90^{0}$

$\Rightarrow \hat{O M C} + \hat{E M H} = 90^{0} \Rightarrow \hat{E M O} = 90^{0}, M \in (O)$ $\Rightarrow$ EM là tiếp tuyến của (O)

c) Vì $\sin \hat{B A C} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \hat{B A C} = 45^{0} \Rightarrow Δ A M C$ vuông cân tại M $\Rightarrow A M = M C$

Xét $Δ A M H$ và $Δ C M B$ có: $\hat{M A H} = \hat{M C B}$ (cùng phụ góc B); AM = CM

$\hat{A M H} = \hat{B M C} = 90^{0} \Rightarrow Δ A M H = Δ C M B \Rightarrow A H = B C$

Câu 2

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi Clà một điểm trên tia Ax, kẻ tiếp tuyến CM với nửa đường tròn (Mlà tiếp điểm), CM cắt By ở D

a) Tính số đo $\hat{C O D}$

b) Gọi I là giao điểm của $O C, A M, K$ là giao điểm của OD và MB. Tứ giác OIMK là hình gì ? Vì sao ?

c) Chứng minh tích AC.BD không đổi khi C di chuyển trên Ax

d) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Xem đáp án

Lời giải

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By (Ax, By (ảnh 1)

a) Vì CM, CA là hai tiếp tuyến cắt nhau nên $\hat{M O C} = \hat{A O C} = \frac{1}{2} \hat{A O M}$

Chứng minh tương tự $\Rightarrow \hat{M O D} = \hat{D O B} = \frac{1}{2} \hat{M O B}$

$\Rightarrow \hat{C O D} = \hat{C O M} + \hat{M O D} = \frac{1}{2} (\hat{A O M} + \hat{M O B})$ $= \frac{1}{2} \hat{A O B} = \frac{1}{2} {.180}^{0} = 90^{0}$

Vậy $\hat{C O D} = 90^{0}$

b) Cũng theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau $\Rightarrow O C$ là trung trực của AM $\Rightarrow \hat{I} = 90^{0}$

Chứng minh tương tự $\Rightarrow \hat{K} = 90^{0}$

Tứ giác MIOK có $\hat{C O D} = \hat{I} = \hat{K} = 90^{0} \Rightarrow O I M K$ là hình chữ nhật

c) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau $\Rightarrow \{\begin{cases} A C = M C \\ B D = M D \end{cases} \Rightarrow A C . M D = M C . M D$

Áp dụng hệ thức lượng vào $Δ C O D$ vuông tại O, OM đường cao $\Rightarrow M C . M D = O M^{2} = R^{2}$

Vậy $A C . B D = R^{2}$ không đổi .

d) Gọi E là trung điểm CD. Ta có CA // DB (cùng vuông góc với $A B) \Rightarrow C A B D$ là hình thang có E là trung điểm CD, O là trung điểm $A B \Rightarrow E O$ là đường trung bình hình thang $C A B D \Rightarrow E O ⊥ A B$ và OE = OC = OD (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) $\Rightarrow O \in (E; E D)$ và $E O ⊥ A B$ nên AB là tiếp tuyến của (E)

Câu 3

M là điểm tùy ý thuộc đường thẳng cố định d nằm ngoài đường tròn (O; R). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O) (P, Q là các tiếp điểm). Hạ OH vuông góc với đường thẳng d. Dây cung PQ cắt OH ở I, cắt OM ở K. Chứng minh rằng:

a) $O I . O H = O K . O M = R^{2}$

b) Khi M thay đổi trên đường thẳng d thì vị trí của điểm I luôn luôn không đổi

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số bậc nhất y = -2x + 3

a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao ?

b) Vẽ đồ thị (d) của hàm số trên.

c) Gọi M là điểm có tọa độ $(a; b) \in$ đồ thị (d) nói trên. Xác định a, b biết rằng $\sqrt{a} . (\sqrt{b} + 1) = 2$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $y = (m + 1) x - 2 m + 1 (d)$

a) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ

b) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua A(3; 4).Vẽ đồ thị vừa tìm được

c) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng vừa vẽ với đt $(d') y = - 2 x + 4$

d) Tìm số đo góc $α$ tạo bởi đường thẳng (d') với trục Ox.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $A (- 1; - 1); B (2; 5) .$

a) Biết đồ thị của nó là đường thẳng đi qua A, B. Tìm hàm số đó

b) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua A, B

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $A (- 1; - 1); B (2; 5) .$

a) Biết đồ thị của nó là đường thẳng đi qua A, B. Tìm hàm số đó

b) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua A, B