Cho 2 số thực dương a, b thỏa a+b≤1 . Tìm GTNN của A=ab+1ab

Ta có: ab≤a+b22≤14 ⇒−ab≥−14 A=16ab+1ab−15ab≥216ab1ab−15ab≥8−15.14=174 Dấu “=” xảy ra ⇔ab=14⇔a=b=12 Vậy GTNN của A là 174

Câu hỏi:

19/08/2025 13,279

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $a + b \leq 1$ . Tìm GTNN của $A = a b + \frac{1}{a b}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 8: Bất đẳng thức có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$\begin{array}{l} a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2} \leq \frac{1}{4} \\ \Rightarrow - a b \geq - \frac{1}{4} \end{array}$

$A = 16 a b + \frac{1}{a b} - 15 a b \geq 2 \sqrt{16 a b \frac{1}{a b}} - 15 a b \geq 8 - 15. \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a b = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$

Vậy GTNN của A là $\frac{17}{4}$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa $a + 2 b + 3 c \geq 20$ .

Tìm GTNN của $A = a + b + c + \frac{3}{a} + \frac{9}{2 b} + \frac{4}{c}$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{matrix} A = (\frac{3 a}{4} + \frac{3}{a}) + (\frac{b}{2} + \frac{9}{2 b}) + (\frac{c}{4} + \frac{4}{c}) + \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + \frac{3 c}{4} \\ \geq 2 \sqrt{\frac{3 a}{4} . \frac{3}{a}} + 2 \sqrt{\frac{b}{2} . \frac{9}{2 b}} + 2 \sqrt{\frac{c}{4} . \frac{4}{c}} + \frac{a + 2 b + 3 c}{4} \\ \geq 3 + 3 + 2 + 5 = 13 \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = 2, b = 3, c = 4$

Vậy GTNN của A là 13

Câu 2

Cho số thực $a \geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của $A = a + \frac{1}{a}$

Sai lầm thường gặp là: $A = a + \frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{a . \frac{1}{a}} = 2$ . Vậy GTNN của A là 2.

Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 $\Leftrightarrow a = \frac{1}{a} \Leftrightarrow a = 1$ vô lý vì theo giả thuyết thì $a \geq 2$ .

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải đúng: $A = a + \frac{1}{a} = \frac{a}{4} + \frac{1}{a} + \frac{3 a}{4} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{4} . \frac{1}{a}} + \frac{3 a}{4} \geq 1 + \frac{3.2}{4} = \frac{5}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{4} = \frac{1}{a} hay a = 2$

Vậy GTNN của A là $\frac{5}{2}$ .

Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức.

Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi $a = 2$ . Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi ” $a = 2$ . Ta không thể áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số a và $\frac{1}{a}$ vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta phải tách a hoặc $\frac{1}{a}$ để khi áp dụng bất đẳng thức AM - GM thì thỏa quy tắc dấu “=”. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho cặp số $(\frac{a}{α}, \frac{1}{a})$ sao cho tại “Điểm rơi ” $a = 2$ thì $\frac{a}{α} = \frac{1}{a}$ , ta có sơ đồ sau:

$a = 2 \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{a}{α} = \frac{2}{α} \\ \frac{1}{a} = \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \frac{2}{α} = \frac{1}{2} \Rightarrow α = 4$

Khi đó: $A = a + \frac{1}{a} = \frac{a}{4} + \frac{3 a}{4} + \frac{1}{a}$ và ta có lời giải như trên.

Câu 3

Cho số thực $a \geq 6$ . Tìm GTNN của $A = a^{2} + \frac{18}{a}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho3 số thực dương a, b, c thỏa $\{\begin{cases} a b \geq 12 \\ b c \geq 8 \end{cases}$ .
Chứng minh rằng: $(a + b + c) + 2 (\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) + \frac{8}{a b c} \geq \frac{121}{12}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $a + b \leq 1$ . Tìm GTNN của $A = a b + \frac{1}{a b}$

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa $a + 2 b + 3 c \geq 20$ .

Tìm GTNN của $A = a + b + c + \frac{3}{a} + \frac{9}{2 b} + \frac{4}{c}$

Cho số thực $a \geq 6$ . Tìm GTNN của $A = a^{2} + \frac{18}{a}$

Cho3 số thực dương a, b, c thỏa $\{\begin{cases} a b \geq 12 \\ b c \geq 8 \end{cases}$ .
Chứng minh rằng: $(a + b + c) + 2 (\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) + \frac{8}{a b c} \geq \frac{121}{12}$