Cho3 số thực dương a, b, c thỏa ab≥12bc≥8 . Chứng minh rằng: a+b+c+21ab+1bc+1ca +8abc≥12112

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a18+b24+2ab≥3a18.b24.2ab3=12a9+c6+2ca≥3a9.c6.2ca3=1 b16+c8+2bc≥3b16.c8.2bc3=34a9+c6+b12+8abc≥4a9.c6.b12.8abc4=43 13a18+13b24≥213a18.13b24≥21318.1324.12=13313b48+13c24≥213b48.13c24≥21348.1324.8=134 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: a+b+c+21ab+1bc+1ca +8abc≥12112 (đpcm)

Câu hỏi:

12/07/2024 922

Cho3 số thực dương a, b, c thỏa $\{\begin{cases} a b \geq 12 \\ b c \geq 8 \end{cases}$ .
Chứng minh rằng: $(a + b + c) + 2 (\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) + \frac{8}{a b c} \geq \frac{121}{12}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 8: Bất đẳng thức có đáp án !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

$\begin{array}{l} \frac{a}{18} + \frac{b}{24} + \frac{2}{a b} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a}{18} . \frac{b}{24} . \frac{2}{a b}} = \frac{1}{2} \\ \frac{a}{9} + \frac{c}{6} + \frac{2}{c a} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a}{9} . \frac{c}{6} . \frac{2}{c a}} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{b}{16} + \frac{c}{8} + \frac{2}{b c} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{b}{16} . \frac{c}{8} . \frac{2}{b c}} = \frac{3}{4} \\ \frac{a}{9} + \frac{c}{6} + \frac{b}{12} + \frac{8}{a b c} \geq 4 \sqrt[4]{\frac{a}{9} . \frac{c}{6} . \frac{b}{12} . \frac{8}{a b c}} = \frac{4}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{13 a}{18} + \frac{13 b}{24} \geq 2 \sqrt[]{\frac{13 a}{18} . \frac{13 b}{24}} \geq 2 \sqrt[]{\frac{13}{18} . \frac{13}{24} .12} = \frac{13}{3} \\ \frac{13 b}{48} + \frac{13 c}{24} \geq 2 \sqrt[]{\frac{13 b}{48} . \frac{13 c}{24}} \geq 2 \sqrt[]{\frac{13}{48} . \frac{13}{24} .8} = \frac{13}{4} \end{array}$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

$(a + b + c) + 2 (\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) + \frac{8}{a b c} \geq \frac{121}{12}$ (đpcm)

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho số thực $a \geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của $A = a + \frac{1}{a}$

Sai lầm thường gặp là: $A = a + \frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{a . \frac{1}{a}} = 2$ . Vậy GTNN của A là 2.

Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 $\Leftrightarrow a = \frac{1}{a} \Leftrightarrow a = 1$ vô lý vì theo giả thuyết thì $a \geq 2$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 6,477

Câu 2:

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa $a + 2 b + 3 c \geq 20$ .

Tìm GTNN của $A = a + b + c + \frac{3}{a} + \frac{9}{2 b} + \frac{4}{c}$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,820

Câu 3:

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $a + b \leq 1$ . Tìm GTNN của $A = a b + \frac{1}{a b}$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,446

Câu 4:

Cho số thực $a \geq 6$ . Tìm GTNN của $A = a^{2} + \frac{18}{a}$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,467

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP