Cho3 số thực dương a, b, c thỏa ab≥12bc≥8 . Chứng minh rằng: a+b+c+21ab+1bc+1ca +8abc≥12112

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a18+b24+2ab≥3a18.b24.2ab3=12a9+c6+2ca≥3a9.c6.2ca3=1 b16+c8+2bc≥3b16.c8.2bc3=34a9+c6+b12+8abc≥4a9.c6.b12.8abc4=43 13a18+13b24≥213a18.13b24≥21318.1324.12=13313b48+13c24≥213b48.13c24≥21348.1324.8=134 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: a+b+c+21ab+1bc+1ca +8abc≥12112 (đpcm)

Câu hỏi:

12/07/2024 1,574

Cho3 số thực dương a, b, c thỏa $\{\begin{cases} a b \geq 12 \\ b c \geq 8 \end{cases}$ .
Chứng minh rằng: $(a + b + c) + 2 (\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) + \frac{8}{a b c} \geq \frac{121}{12}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 8: Bất đẳng thức có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

$\begin{array}{l} \frac{a}{18} + \frac{b}{24} + \frac{2}{a b} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a}{18} . \frac{b}{24} . \frac{2}{a b}} = \frac{1}{2} \\ \frac{a}{9} + \frac{c}{6} + \frac{2}{c a} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a}{9} . \frac{c}{6} . \frac{2}{c a}} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{b}{16} + \frac{c}{8} + \frac{2}{b c} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{b}{16} . \frac{c}{8} . \frac{2}{b c}} = \frac{3}{4} \\ \frac{a}{9} + \frac{c}{6} + \frac{b}{12} + \frac{8}{a b c} \geq 4 \sqrt[4]{\frac{a}{9} . \frac{c}{6} . \frac{b}{12} . \frac{8}{a b c}} = \frac{4}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{13 a}{18} + \frac{13 b}{24} \geq 2 \sqrt[]{\frac{13 a}{18} . \frac{13 b}{24}} \geq 2 \sqrt[]{\frac{13}{18} . \frac{13}{24} .12} = \frac{13}{3} \\ \frac{13 b}{48} + \frac{13 c}{24} \geq 2 \sqrt[]{\frac{13 b}{48} . \frac{13 c}{24}} \geq 2 \sqrt[]{\frac{13}{48} . \frac{13}{24} .8} = \frac{13}{4} \end{array}$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

$(a + b + c) + 2 (\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) + \frac{8}{a b c} \geq \frac{121}{12}$ (đpcm)

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho số thực $a \geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của $A = a + \frac{1}{a}$

Sai lầm thường gặp là: $A = a + \frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{a . \frac{1}{a}} = 2$ . Vậy GTNN của A là 2.

Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 $\Leftrightarrow a = \frac{1}{a} \Leftrightarrow a = 1$ vô lý vì theo giả thuyết thì $a \geq 2$ .

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải đúng: $A = a + \frac{1}{a} = \frac{a}{4} + \frac{1}{a} + \frac{3 a}{4} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{4} . \frac{1}{a}} + \frac{3 a}{4} \geq 1 + \frac{3.2}{4} = \frac{5}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{4} = \frac{1}{a} hay a = 2$

Vậy GTNN của A là $\frac{5}{2}$ .

Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức.

Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi $a = 2$ . Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi ” $a = 2$ . Ta không thể áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số a và $\frac{1}{a}$ vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta phải tách a hoặc $\frac{1}{a}$ để khi áp dụng bất đẳng thức AM - GM thì thỏa quy tắc dấu “=”. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho cặp số $(\frac{a}{α}, \frac{1}{a})$ sao cho tại “Điểm rơi ” $a = 2$ thì $\frac{a}{α} = \frac{1}{a}$ , ta có sơ đồ sau:

$a = 2 \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{a}{α} = \frac{2}{α} \\ \frac{1}{a} = \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \frac{2}{α} = \frac{1}{2} \Rightarrow α = 4$

Khi đó: $A = a + \frac{1}{a} = \frac{a}{4} + \frac{3 a}{4} + \frac{1}{a}$ và ta có lời giải như trên.

Câu 2

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa $a + 2 b + 3 c \geq 20$ .

Tìm GTNN của $A = a + b + c + \frac{3}{a} + \frac{9}{2 b} + \frac{4}{c}$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{matrix} A = (\frac{3 a}{4} + \frac{3}{a}) + (\frac{b}{2} + \frac{9}{2 b}) + (\frac{c}{4} + \frac{4}{c}) + \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + \frac{3 c}{4} \\ \geq 2 \sqrt{\frac{3 a}{4} . \frac{3}{a}} + 2 \sqrt{\frac{b}{2} . \frac{9}{2 b}} + 2 \sqrt{\frac{c}{4} . \frac{4}{c}} + \frac{a + 2 b + 3 c}{4} \\ \geq 3 + 3 + 2 + 5 = 13 \end{matrix}$