Bài tập

Cho đường tròn (O, R) đường kính AB và dây AC không qua tâm O. Gọi H là trung điểm của AC

a, Tính số đo góc $\widehat{ACB}$ và chứng minh OH//BC

b, Tiếp tuyên tại C của (O) cắt OH ở M. Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của (O) tại A

c, Vẽ CK vuông góc AB tại K. Gọi I là trung điểm của CK và đặt $\widehat{CAB}$ = α. Chứng minh IK = Rsinα.cosα

d, Chứng minh ba điểm M, I, B thẳng hàng

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, đường thẳng d là tiếp tuyến vói (O) tại A. Trên d lây điểm M, đường thẳng MB cắt (O) tại C. Tiếp tuyến tại C cắt d tại I

a, Chứng minh O, A, I, C cùng thuộc một đường tròn

b, Chứng minh I là trung điểm của AM

c, Chứng minh: MB.MC = $O{M}^2-\frac{A{B}^2}{4}$

d, Khi M di động trên d, trọng tâm G của tam giác AOC thuộc đường cố định nào? 

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (O) đường kính BH và đường tròn tâm O' đường kính CH, hai đường tròn này cắt AB, AC thứ tự tại E và F

a, Tứ giác AEHF là hình gì?

b, Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)

c, Chứng minh đường tròn đường kính OO' tiếp xúc với EF

d, Cho đường tròn tâm I bán kính r tiếp xúc với EF, (O) và (O’). Tính r theo BH và CH?

Cho đường tròn (O) đường kính CD = 2R, M là điểm thuộc (O) sao cho MC < MD. Gọi K là trung điểm của CM, tia OK cắt tiếp tuyến Cx tại A

a, Chứng minh OA // MD. Từ đó suy ra MA là tiếp tuyến của (O)

b, Gọi B là giao điểm của AM và tiếp tuyến Dy của (O), H là giao điểm của OB và MD. Khi M thay đổi, chứng minh (KO.KA + HO.HB) không phụ thuộc vị trí của M

c, Giả sử CM = R, đường thẳng AB cắt CD tại S. Kẻ CE$\perp$AB tại E. Chứng minh AE.SM = AM. SE

d, Khi M thay đổi, chứng minh giao điểm của AD và CB luôn thuộc một đường cố định

Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O; R). Trên tia đối của tia CO lấy điểm S, SA cắt đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến tại M với đường tròn (O) cắt CD tại E, BM cắt CO tại F

a, Chứng minh: EM.AM = MF.OA

b, Chứng minh: ES = EM = EF

c, Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng SB và (O). Chứng minh A, I, F thẳng hàng

d, Cho EM = R, tính FA.SM theo R

e, Kẻ MH$\perp$AB. Xác định vị trí điểm M để tam giác MHO có diện tích đạt giá trị lớn nhất

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C thuộc (O) sao cho CA < CB. Vói H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, gọi D, M, N theo thứ tự là giao của đường tròn I đường kính CH với (O), AC và BC

a, Tứ giác CMHN là hình gì?

b, Chứng minh OC$\perp$MN

c, Với E = AB$\cap$CD, chứng minh các điểm E, I, M và N thẳng hàng

d, Chứng minh ED.EC = EA.EB

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến d và d' với (O). Một đường thẳng qua O cắt d ở M và cắt d' ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt d' ở N

a, Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân

b, Gọi I là hình chiếu vuông góc của O lên MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của (O)

c, Chứng minh AM. BN = $R^2$

d, Tìm vị trí của M để tứ giác AMNB có diện tích đạt giá trị nhỏ nhất

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và C là điểm trên (O). Kẻ BI là phân giác góc ABC với I$\in$(O) và gọi E là giao điểm của AI và BC

a, Tam giác ABE là tam giác gì? Vì sao?

b, Gọi K là giao điểm của AC và BI. Chứng minh EK$\perp$AB

c, Gọi F là điểm đối xứng với K qua I. Chứng minh AF là tiếp tuyến của (O) và tứ giác AFEK là hình thoi

d, Khi điểm C di chuyển trên (O) thì E di chuyển trên đường nào?

Cho đường tròn (O; R) và B nằm trên (O). Từ điểm A bất kì nằm trên tiếp tuyến d tại B với (O), kẻ BH$\perp$AO tại H

a, Khi A di chuyến trên d, chứng minh tích OH.OA có giá trị không đổi

b, Gọi C là điểm đối xứng của B qua H. Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O)

c, Tia đối của tia OA cắt (O) tại M. Chứng minh M cách đều ba đường thẳng BC, AB, AC

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh AB = c, AC = b, BA = a và p là nửa chu vi của tam giác. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác lần lượt tiếp xúc với BC, AC và AB tại D, E và F

a, Chứng minh (I) có bán kính r = (p – a)tan$\frac{\widehat{BAC}}{2}$

b, Với $\widehat{BAC}$ = α, tìm số đo của góc EDF theo α

c, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B,C  trên EF. Chứng minh: ∆BHF:∆CKE

d, Kẻ DP vuông góc vói EF tại P. Chứng minh: ∆FPB:∆CEP và PD là tia phân giác của góc $\widehat{BPC}$