Bài tập

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By. Điểm M nằm trên (O) sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ax, By tại D và C. Chứng minh:

a, AD + BC = CD

b, $\widehat{COD}={90}^0$

c, AC.BD = $O{A}^2$

d, AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By. M là điểm trên (O) sao cho tiếp tuyên tại M cắt Ax, By tại D và C. Đường thẳng AD cắt BC tại N

a, Chứng minh A, C, M, O cùng thuộc một đường tròn. Chỉ ra bán kính của đường tròn đó

b, Chứng minh OC và BM song song

c, Tìm vị trí điểm M sao cho S_ACDB nhỏ nhất

d, Chứng minh MN và AB vuông góc nhau

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Từ B, C kẻ các tiếp tuyến BD, CE với (A) trong đó D, E là các tiếp điểm

a, Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng

b, Chứng minh BD.CE = $\frac{D{E}^2}{4}$

c, Gọi M là trung điểm CH. Đường tròn tâm M đường kính CH cắt (Ạ) tại N với N khác H. Chứng minh CN và AM song song 

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác

a, Chứng minh bốn điểm B, C, I, K cùng thuộc đường tròn (O; IO) vói O là trung điểm của đoạn thẳng IK

b, Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O)

c, Biết AB = AC = 20 cm và BC = 24 cm tính bán kính của (O)

Cho đường tròn (O; R). Từ điểm A trên (O), kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điếm M bất kì (M khác A), kẻ cát tuyến MNP, gọi K là trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB, kẻ AC$\perp$MB, BD$\perp$MA. Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. Chứng minh:

a, Bốn điểm A, M, B, O cùng thuộc một đường tròn

b, Năm điểm O, K, A, M, B cùng thuộc một đường tròn

c, OI.OM = $R^2$ và OI.IM = $I{A}^2$

d, OAHB là hình thoi

e, O, H, M thẳng hàng

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax, lấy P trên Ax (AP > R). Từ P kẻ tiếp tuyến PM với (O)

a, Chứng minh bôn điểm A, P, M, O cùng thuộc một đường tròn

b, Chứng minh BM // OP

c, Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành

d, Giả sử AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN cắt OM tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi d và d' là các tiếp tuyến tại A và B. Lấy C bất kì thuộc d, đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt d' tại D. AD cắt BC tại N.

a, Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm M

b, Tìm vị trí C trên d sao cho (AC + BD) đạt giá trị nhỏ nhất

c, Biết AB = 4a, tính giá trị của AC.BD và $\frac{1}{O{C}^2}+\frac{1}{O{D}^2}$ theo a

d, Chứng minh MN vuông góc với AB và N là trung điểm của MH với H là giao điểm của MN và AB

Cho đường tròn (O) và điểm A ngoài (O). Qua A kẻ các tiếp tuyên AB, AC với (O) trong đó B, C là các tiếp điểm. Lấy M là điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến qua M với (O) cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh:

a, Chu vi tam giác ADE bằng 2AB

b, $\widehat{DOE}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Các cạnh AB, BC, CA tiếp xúc đường tròn (I) lần lượt tại D, E, F. Đặt BC = a, CA = b, AB = c

a, Chứng minh AD = $\frac{b+c-a}{2}$

b, Gọi r là bán kính của (I). Chứng minh $S_{ABC}$ = p.r, trong đó p là nửa chu vi tam giác ABC

c, Gọi M là giao điểm của đoạn thẳng AI với (I). Tính độ dài đoạn thẳng BM theo a, b, c