Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By. Điểm M nằm trên (O) sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ax, By tại D và C. Chứng minh:

a, AD + BC = CD

b, $\widehat{COD}={90}^0$

c, AC.BD = $O{A}^2$

d, AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax, lấy P trên Ax (AP > R). Từ P kẻ tiếp tuyến PM với (O)

a, Chứng minh bôn điểm A, P, M, O cùng thuộc một đường tròn

b, Chứng minh BM // OP

c, Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành

d, Giả sử AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN cắt OM tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By. M là điểm trên (O) sao cho tiếp tuyên tại M cắt Ax, By tại D và C. Đường thẳng AD cắt BC tại N

a, Chứng minh A, C, M, O cùng thuộc một đường tròn. Chỉ ra bán kính của đường tròn đó

b, Chứng minh OC và BM song song

c, Tìm vị trí điểm M sao cho S_ACDB nhỏ nhất

d, Chứng minh MN và AB vuông góc nhau

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi d và d' là các tiếp tuyến tại A và B. Lấy C bất kì thuộc d, đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt d' tại D. AD cắt BC tại N.

a, Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm M

b, Tìm vị trí C trên d sao cho (AC + BD) đạt giá trị nhỏ nhất

c, Biết AB = 4a, tính giá trị của AC.BD và $\frac{1}{O{C}^2}+\frac{1}{O{D}^2}$ theo a

d, Chứng minh MN vuông góc với AB và N là trung điểm của MH với H là giao điểm của MN và AB

Cho đường tròn (O; R). Từ điểm A trên (O), kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điếm M bất kì (M khác A), kẻ cát tuyến MNP, gọi K là trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB, kẻ AC$\perp$MB, BD$\perp$MA. Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. Chứng minh:

a, Bốn điểm A, M, B, O cùng thuộc một đường tròn

b, Năm điểm O, K, A, M, B cùng thuộc một đường tròn

c, OI.OM = $R^2$ và OI.IM = $I{A}^2$

d, OAHB là hình thoi

e, O, H, M thẳng hàng

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Từ B, C kẻ các tiếp tuyến BD, CE với (A) trong đó D, E là các tiếp điểm

a, Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng

b, Chứng minh BD.CE = $\frac{D{E}^2}{4}$

c, Gọi M là trung điểm CH. Đường tròn tâm M đường kính CH cắt (Ạ) tại N với N khác H. Chứng minh CN và AM song song 

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Các cạnh AB, BC, CA tiếp xúc đường tròn (I) lần lượt tại D, E, F. Đặt BC = a, CA = b, AB = c

a, Chứng minh AD = $\frac{b+c-a}{2}$

b, Gọi r là bán kính của (I). Chứng minh $S_{ABC}$ = p.r, trong đó p là nửa chu vi tam giác ABC

c, Gọi M là giao điểm của đoạn thẳng AI với (I). Tính độ dài đoạn thẳng BM theo a, b, c