$\begin{array}{l} 3 \sqrt{8} - \sqrt{18} - 5 \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{50} \\ = 3. \sqrt{4.2} - \sqrt{9.2} - 5 \sqrt{\frac{2}{2^{2}}} + \sqrt{25.2} \\ = 6 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} - \frac{5}{2} \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \\ = (6 - 3 - \frac{5}{2} + 5) \sqrt{2} \\ = \frac{11 \sqrt{2}}{2} \end{array}$

Câu 2/32

Thực hiện phép tính: $\frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta biến đổi:

$\begin{array}{l} \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \\ = \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} + \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)} \\ = \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} + \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} \\ = \sqrt{2} - (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} + 1) \\ = \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 1 \\ = 1 \end{array}$

Câu 3/32

Thực hiện phép tính: $A = 15 (\sqrt{\frac{3}{5}} + \sqrt{\frac{5}{3}})$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} A = 15 (\sqrt{\frac{3}{5}} + \sqrt{\frac{5}{3}}) \\ = 15 (\frac{1}{5} \sqrt{15} + \frac{1}{3} \sqrt{15}) \\ = 15. \frac{8}{15} \sqrt{15} \\ = 8 \sqrt{15} \end{array}$

Câu 4/32

Thực hiện phép tính: $B = \sqrt{\frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}} - \sqrt{\frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có thể làm theo hai cách:

Cách 1: Sử dụng phương pháp quy đồng mẫu, ta có:

$\begin{array}{l} B = \sqrt{\frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}} - \sqrt{\frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}} \\ = \frac{\sqrt{\sqrt{7} - \sqrt{6}}}{\sqrt{\sqrt{7} + \sqrt{6}}} - \frac{\sqrt{\sqrt{7} + \sqrt{6}}}{\sqrt{\sqrt{7} - \sqrt{6}}} \\ = \frac{{(\sqrt{\sqrt{7} - \sqrt{6}})}^{2} - {(\sqrt{\sqrt{7} + \sqrt{6}})}^{2}}{\sqrt{\sqrt{7} + \sqrt{6}} . \sqrt{\sqrt{7} - \sqrt{6}}} \\ = - 2 \sqrt{6} \end{array}$

Cách 2: Sử dụng phương pháp trục căn thức ở mẫu, ta có:

$\begin{array}{l} B = \sqrt{\frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}} - \sqrt{\frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}} \\ = \sqrt{\frac{{(\sqrt{7} + \sqrt{6})}^{2}}{(\sqrt{7} + \sqrt{6}) (\sqrt{7} - \sqrt{6})}} \\ = \sqrt{{(\sqrt{7} - \sqrt{6})}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{7} + \sqrt{6})}^{2}} \\ = \sqrt{7} - \sqrt{6} - \sqrt{7} - \sqrt{6} = - 2 \sqrt{6} \end{array}$

Câu 5/32

Rút gọn biểu thức sau: $A = 2 \sqrt{3 x} + \sqrt{27 x} - \sqrt{8 x} + \sqrt{50 x} + \sqrt{x}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta biến đổi:

$\begin{array}{l} A = 2 \sqrt{3 x} + \sqrt{27 x} - \sqrt{8 x} + \sqrt{50 x} + \sqrt{x} \\ = (2 + 3) \sqrt{3 x} + (- 2 + 5) \sqrt{2 x} + \sqrt{x} \\ = 5 \sqrt{3 x} + 3 \sqrt{2 x} + \sqrt{x} \\ = (5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} + 1) \sqrt{x} \end{array}$

Câu 6/32

Rút gọn biểu thức sau: $B = \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{x y} + \frac{x}{y} \sqrt{\frac{y}{x}}$ với x,y>0

Xem đáp án

Lời giải

Với x,y>0, ta biến đổi:

$\begin{array}{l} B = \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{x y} + \frac{x}{y} \sqrt{\frac{y}{x}} \\ = \frac{1}{|y|} \sqrt{x y} + \sqrt{x y} + \frac{x}{|x| y} \sqrt{x y} \\ = \frac{1}{y} \sqrt{x y} + \sqrt{x y} + \frac{x}{x y} \sqrt{x y} \\ = (\frac{1}{y} + 1 + \frac{1}{y}) \sqrt{x y} \\ = \frac{(y + 2) \sqrt{x y}}{y} \end{array}$

Câu 7/32

Chứng minh rằng: ${(\frac{5 + 2 \sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}})}^{2} - {(\frac{5 - 2 \sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}})}^{2} = 4 \sqrt{6}$

Xem đáp án

Lời giải

Nhận xét rằng:

$\begin{array}{l} 5 + 2 \sqrt{6} = {(\sqrt{3})}^{2} + 2 \sqrt{3} \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{2} = {(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2} \\ 5 - 2 \sqrt{6} = {(\sqrt{3})}^{2} - 2 \sqrt{3} \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{2} = {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} \end{array}$

Suy ra:

${(\frac{5 + 2 \sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}})}^{2} = {(\frac{{(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}})}^{2} = {(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2} = 5 + 2 \sqrt{6}$

${(\frac{5 - 2 \sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}})}^{2} = {(\frac{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}})}^{2} = {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} = 5 - 2 \sqrt{6}$

Do đó:

$V T = 5 + 2 \sqrt{6} - (5 - 2 \sqrt{6}) = 4 \sqrt{6}$

Câu 8/32

Cho a, b, c, d, A, B, C, D là các số thực dương thỏa mãn: $\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = \frac{d}{D}$
Chứng minh rằng: $\sqrt{a A} + \sqrt{b B} + \sqrt{c C} + \sqrt{d D} = \sqrt{(a + b + c + d) (A + B + C + D)}$

Xem đáp án

Lời giải

Đặt $t = \frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = \frac{d}{D}$ , suy ra: $\{\begin{cases} a = A t \\ b = B t \\ c = C t \\ d = D t \end{cases}$

Khi đó đẳng thức được viết lại dưới dạng:

$\sqrt{A^{2} t} + \sqrt{B^{2} t} + \sqrt{C^{2} t} + \sqrt{D^{2} t} = \sqrt{(A t + B t + C t + D t) (A + B + C + D)}$

$\Leftrightarrow (A + B + C + D) \sqrt{t} = (A + B + C + D) \sqrt{t}$ (luôn đúng)

Câu 9/32