Cho biểu thức $S_n=\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\mathrm{...}+\sqrt{1+\frac{1}{{\left(n-1\right)}^2}+\frac{1}{n^2}}$

1. Tính $S_{2016}$.

2. Chứng minh rằng với mọi $n\ge 3$ thì $S_n$ là số hữu tỉ nhưng không thể là số nguyên

Cho biểu thức: $P=\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right).\left(\frac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right)$

1. Rút gọn biểu thức P.

2. Tìm a để $P<7-4\sqrt{3}$.

Chứng minh rằng biểu thức sau là hằng số với mọi giá trị x và y.

$P=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}-y}-\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}-y}\right).\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}^2}$

Tính giá trị của biểu thức: $S=\frac{a+1}{\sqrt{a^4+a+1}-a^2}$, trong đó a là nghiệm dương của phương trình $4a^2+\sqrt{2}a-\sqrt{2}=0\left(1\right)$

Cho biểu thức: $P=\left(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3x+3}{x-9}\right):\left(\frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-1\right)$

1. Rút gọn biểu thức P.

2. Tìm x để $P<-\frac{1}{2}$.

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Thực hiện phép tính $B=\sqrt{7+4\sqrt{3}}-\sqrt{7-4\sqrt{3}}$

Cho biểu thức: $A=\frac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}+\frac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}$

1. Rút gọn biểu thức A.

2. Tìm x để $A=\frac{1}{2}$.

3. Chứng minh $A\le \frac{2}{3}$.