Cho biểu thức Sn=1+122+132+1+132+142+...+1+1n−12+1n21. Tính S2016.2. Chứng minh rằng với mọi n≥3 thì Sn là số hữu tỉ nhưng không thể là số nguyên

1. Tính S2016Sử dụng (2) bằng cách thay a, b, c bởi ba bộ số 1, (n – 1), - n, ta sẽ nhận được:1+1n−12+1n2=1+1n−1−1n=1+1n−1−1nTừ đó suy ra:Sn=1+12+13+1+13+14+...+1+1n−1+1n=1+1+...+1+12−1n=(n−2).1+12−1n=n−1n−32Suy ra S2016=2016−12016−32=201051310032. Chứng minh rằng với mọi n≥3 thì ” Sn là số hưu tỉ nhưng không thể là số nguyênDễ thấy ngay được khẳng định “ Sn là ố hưu tỉ nhưng không thể là số nguyên”

Câu hỏi:

12/07/2024 1,599

Cho biểu thức $S_{n} = \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + ... + \sqrt{1 + \frac{1}{{(n - 1)}^{2}} + \frac{1}{n^{2}}}$
1. Tính $S_{2016}$ .
2. Chứng minh rằng với mọi $n \geq 3$ thì $S_{n}$ là số hữu tỉ nhưng không thể là số nguyên

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Bài 8 (có đáp án): Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

1. Tính $S_{2016}$

Sử dụng (2) bằng cách thay a, b, c bởi ba bộ số 1, (n – 1), - n, ta sẽ nhận được:

$\sqrt{1 + \frac{1}{{(n - 1)}^{2}} + \frac{1}{n^{2}}} = |1 + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}| = 1 + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

Từ đó suy ra:

$\begin{array}{l} S_{n} = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + ... + (1 + \frac{1}{n - 1} + \frac{1}{n}) \\ = 1 + 1 + ... + 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n} \\ = (n - 2) .1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n} \\ = n - \frac{1}{n} - \frac{3}{2} \end{array}$

Suy ra $S_{2016} = 2016 - \frac{1}{2016} - \frac{3}{2} = \frac{2010513}{1003}$

2. Chứng minh rằng với mọi $n \geq 3$ thì ” $S_{n}$ là số hưu tỉ nhưng không thể là số nguyên

Dễ thấy ngay được khẳng định “ $S_{n}$ là ố hưu tỉ nhưng không thể là số nguyên”

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho biểu thức: $P = (\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) . (\frac{1 + a \sqrt{a}}{1 + \sqrt{a}} - \sqrt{a})$
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm a để $P < 7 - 4 \sqrt{3}$ .

Xem đáp án

Lời giải

1. Điều kiện : $0 \leq x \neq 1$

Ta có:

$\begin{array}{l} P = (\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) . (\frac{1 + a \sqrt{a}}{1 + \sqrt{a}} - \sqrt{a}) \\ = (\frac{(1 - \sqrt{a}) (1 + \sqrt{a} + a)}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) . (\frac{(1 + \sqrt{a}) (1 - \sqrt{a} + a)}{1 + \sqrt{a}} \sqrt{a}) \\ = (a + \sqrt{a} + a + \sqrt{a}) (1 - \sqrt{a} + a - \sqrt{a}) \\ = (1 + 2 \sqrt{a} + a) (1 - 2 \sqrt{a} + a) \\ = {(1 + \sqrt{a})}^{2} {(1 - \sqrt{a})}^{2} \\ = {(1 - a)}^{2} \end{array}$

2. Ta có:

$\begin{array}{l} P < 7 - 4 \sqrt{3} \\ \Leftrightarrow {(1 - a)}^{2} < 4.2.2 \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2} \\ \Leftrightarrow {(1 - a)}^{2} < {(2 - \sqrt{3})}^{2} \\ \Leftrightarrow - 2 + \sqrt{3} < 1 - a < 2 - \sqrt{3} \\ \Leftrightarrow - 3 + \sqrt{3} < - a < 1 - \sqrt{3} \\ \Leftrightarrow \sqrt{3} - 1 < a < 3 - \sqrt{3} \end{array}$

Vậy với $\sqrt{3} - 1 < a < 3 - \sqrt{3}$ thì $P < 7 - 4 \sqrt{3}$

Câu 2

Chứng minh rằng biểu thức sau là hằng số với mọi giá trị x và y.
$P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x y} - y} - \frac{2 \sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x y} - y}) . \frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{{(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}}$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x y} - y} - \frac{2 \sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x y} - y}) . \frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{{(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}} \\ = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y} (\sqrt{x} - \sqrt{y})} - \frac{2 \sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} (\sqrt{y} - \sqrt{x})}) . \frac{\sqrt{x y} (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{{(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}} \\ = (\frac{x}{\sqrt{x y} (\sqrt{x} - \sqrt{y})} + \frac{2 \sqrt{x y} + y}{\sqrt{x y} (\sqrt{x} - \sqrt{y})}) . \frac{\sqrt{x y} (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{{(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}} \\ = \frac{x + 2 \sqrt{x y} + y}{\sqrt{x y} (\sqrt{x} - \sqrt{y})} . \frac{\sqrt{x y} (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{{(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}} \\ = \frac{x + 2 \sqrt{x y} + y}{{(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}} \\ = \frac{{(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}}{{(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}} \\ = 1 \end{array}$

Vậy giá trị biểu thức P là hằng số với mọi giá trị của của x và y.

Câu 3

Tính giá trị của biểu thức: $S = \frac{a + 1}{\sqrt{a^{4} + a + 1} - a^{2}}$ , trong đó a là nghiệm dương của phương trình $4 a^{2} + \sqrt{2} a - \sqrt{2} = 0 (1)$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho biểu thức: $P = (\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3 x + 3}{x - 9}) : (\frac{2 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} - 1)$
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm x để $P < - \frac{1}{2}$ .
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho biểu thức: $A = \frac{15 \sqrt{x} - 11}{x + 2 \sqrt{x} - 3} + \frac{3 \sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} - \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}$
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm x để $A = \frac{1}{2}$ .
3. Chứng minh $A \leq \frac{2}{3}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Thực hiện phép tính $B = \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho biểu thức Sn=1+122+132+1+132+142+...+1+1n−12+1n21. Tính S2016.2. Chứng minh rằng với mọi n≥3 thì Sn là số hữu tỉ nhưng không thể là số nguyên

Cho biểu thức: P=1−aa1−a+a.1+aa1+a−a1. Rút gọn biểu thức P.2. Tìm a để P<7−43.

Chứng minh rằng biểu thức sau là hằng số với mọi giá trị x và y.P=xxy−y−2x+yxy−y.xy−yxx+y2

Tính giá trị của biểu thức: S=a+1a4+a+1−a2, trong đó a là nghiệm dương của phương trình 4a2+2a−2=0(1)

Cho biểu thức: P=2xx+3+xx−3−3x+3x−9:2x−2x−3−11. Rút gọn biểu thức P.2. Tìm x để P<−12.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Cho biểu thức: A=15x−11x+2x−3+3x−21−x−2x+3x+31. Rút gọn biểu thức A.2. Tìm x để A=12.3. Chứng minh A≤23.

Thực hiện phép tính B=7+43−7−43

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho biểu thức: $P = (\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) . (\frac{1 + a \sqrt{a}}{1 + \sqrt{a}} - \sqrt{a})$
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm a để $P < 7 - 4 \sqrt{3}$ .

Chứng minh rằng biểu thức sau là hằng số với mọi giá trị x và y.
$P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x y} - y} - \frac{2 \sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x y} - y}) . \frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{{(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}}$

Tính giá trị của biểu thức: $S = \frac{a + 1}{\sqrt{a^{4} + a + 1} - a^{2}}$ , trong đó a là nghiệm dương của phương trình $4 a^{2} + \sqrt{2} a - \sqrt{2} = 0 (1)$

Cho biểu thức: $P = (\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3 x + 3}{x - 9}) : (\frac{2 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} - 1)$
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm x để $P < - \frac{1}{2}$ .
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Cho biểu thức: $A = \frac{15 \sqrt{x} - 11}{x + 2 \sqrt{x} - 3} + \frac{3 \sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} - \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}$
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm x để $A = \frac{1}{2}$ .
3. Chứng minh $A \leq \frac{2}{3}$ .

Thực hiện phép tính $B = \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$