Cho biểu thức Sn=1+122+132+1+132+142+...+1+1n−12+1n21. Tính S2016.2. Chứng minh rằng với mọi n≥3 thì Sn là số hữu tỉ nhưng không thể là số nguyên

1. Tính S2016Sử dụng (2) bằng cách thay a, b, c bởi ba bộ số 1, (n – 1), - n, ta sẽ nhận được:1+1n−12+1n2=1+1n−1−1n=1+1n−1−1nTừ đó suy ra:Sn=1+12+13+1+13+14+...+1+1n−1+1n=1+1+...+1+12−1n=(n−2).1+12−1n=n−1n−32Suy ra S2016=2016−12016−32=201051310032. Chứng minh rằng với mọi n≥3 thì ” Sn là số hưu tỉ nhưng không thể là số nguyênDễ thấy ngay được khẳng định “ Sn là ố hưu tỉ nhưng không thể là số nguyên”

Câu hỏi:

12/07/2024 1,195

Cho biểu thức $S_{n} = \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + ... + \sqrt{1 + \frac{1}{{(n - 1)}^{2}} + \frac{1}{n^{2}}}$
1. Tính $S_{2016}$ .
2. Chứng minh rằng với mọi $n \geq 3$ thì $S_{n}$ là số hữu tỉ nhưng không thể là số nguyên

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Bài 8 (có đáp án): Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

1. Tính $S_{2016}$

Sử dụng (2) bằng cách thay a, b, c bởi ba bộ số 1, (n – 1), - n, ta sẽ nhận được:

$\sqrt{1 + \frac{1}{{(n - 1)}^{2}} + \frac{1}{n^{2}}} = |1 + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}| = 1 + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

Từ đó suy ra:

$\begin{array}{l} S_{n} = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + ... + (1 + \frac{1}{n - 1} + \frac{1}{n}) \\ = 1 + 1 + ... + 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n} \\ = (n - 2) .1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n} \\ = n - \frac{1}{n} - \frac{3}{2} \end{array}$

Suy ra $S_{2016} = 2016 - \frac{1}{2016} - \frac{3}{2} = \frac{2010513}{1003}$

2. Chứng minh rằng với mọi $n \geq 3$ thì ” $S_{n}$ là số hưu tỉ nhưng không thể là số nguyên

Dễ thấy ngay được khẳng định “ $S_{n}$ là ố hưu tỉ nhưng không thể là số nguyên”

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho biểu thức: $P = (\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) . (\frac{1 + a \sqrt{a}}{1 + \sqrt{a}} - \sqrt{a})$
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm a để $P < 7 - 4 \sqrt{3}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,830

Câu 2:

Chứng minh rằng biểu thức sau là hằng số với mọi giá trị x và y.
$P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x y} - y} - \frac{2 \sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x y} - y}) . \frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{{(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}}$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,673

Câu 3:

Tính giá trị của biểu thức: $S = \frac{a + 1}{\sqrt{a^{4} + a + 1} - a^{2}}$ , trong đó a là nghiệm dương của phương trình $4 a^{2} + \sqrt{2} a - \sqrt{2} = 0 (1)$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,018

Câu 4:

Cho biểu thức: $P = (\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3 x + 3}{x - 9}) : (\frac{2 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} - 1)$
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm x để $P < - \frac{1}{2}$ .
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,796

Câu 5:

Giải phương trình: $\frac{2 \sqrt{x} - 7}{3} + \sqrt{x} - \frac{3 \sqrt{x} - 5}{2} = 1.$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,375

Câu 6:

Cho a, b , c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng: $S = \sqrt{\frac{1}{(a - b) {}^{2}} + \frac{1}{(b - c) {}^{2}} + \frac{1}{(c - a) {}^{2}}}$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,328

Câu 7:

Giải phương trình $(\sqrt{x} - 3) (4 - \sqrt{x}) = 9 - x$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,309

Xem thêm các câu hỏi khác »