Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=xyz. Chứng minh rằng: 1+y21+z2−1+y2−1+z2yz+1+z21+x2−1+z2−1+x2zx+1+x21+y2−1+x2−1+y2xy=0

Đặt a=1x,b=1y,c=1zTa được đẳng thức điều kiện là:1a+1b+1c=aabc⇔bc+ca+ab=1(1)Và khi đó đẳng thức cần chứng minh có dạng:1+b21+c2+1+c21+a2+1+a21+b2=(b+c)1+a2+(c+a)1+b2+(a+b)1+c2Nhận xét rằng:1+a2=bc+ca+a2=(a+b)(a+c)1+b2=bc+ca+ab+b2=b+cb+a1+c2=bc+ca+ab+c2=c+bc+aTừ đó suy ra:1+b21+c2=(b+c)(b+a)(c+a)=(b+c)1+a2(2)Tương tự, ta có:1+c21+a2=(c+a)1+b2(3)1+a21+b2=(a+b)1+c2(4)Cộng theo vế (2), (3),(4) ta nhận được đẳng thức cần chứng minh.

Câu hỏi:

07/01/2021 400

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn $x + y + z = x y z$ .

Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{(1 + y^{2}) (1 + z^{2})} - \sqrt{1 + y^{2}} - \sqrt{1 + z^{2}}}{y z} + \frac{\sqrt{(1 + z^{2}) (1 + x^{2})} - \sqrt{1 + z^{2}} - \sqrt{1 + x^{2}}}{z x} + \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} - \sqrt{1 + x^{2}} - \sqrt{1 + y^{2}}}{x y} = 0$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Bài 8 (có đáp án): Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai !!

Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.

Mua ngay

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c = \frac{1}{z}$

Ta được đẳng thức điều kiện là:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{a}{a b c} \Leftrightarrow b c + c a + a b = 1 (1)$

Và khi đó đẳng thức cần chứng minh có dạng:

$\begin{array}{l} \sqrt{(1 + b^{2}) (1 + c^{2})} + \sqrt{(1 + c^{2}) (1 + a^{2})} + \sqrt{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})} \\ = (b + c) \sqrt{1 + a^{2}} + (c + a) \sqrt{1 + b^{2}} + (a + b) \sqrt{1 + c^{2}} \end{array}$

Nhận xét rằng:

$\begin{array}{l} 1 + a^{2} = b c + c a + a^{2} = (a + b) (a + c) \\ 1 + b^{2} = b c + c a + a b + b^{2} = (b + c) (b + a) \\ 1 + c^{2} = b c + c a + a b + c^{2} = (c + b) (c + a) \end{array}$

Từ đó suy ra:

$\begin{array}{l} \sqrt{(1 + b^{2}) (1 + c^{2})} \\ = (b + c) \sqrt{(b + a) (c + a)} \\ = (b + c) \sqrt{1 + a^{2}} (2) \end{array}$

Tương tự, ta có:

$\begin{array}{l} \sqrt{(1 + c^{2}) (1 + a^{2})} = (c + a) \sqrt{1 + b^{2}} (3) \\ \sqrt{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})} = (a + b) \sqrt{1 + c^{2}} (4) \end{array}$

Cộng theo vế (2), (3),(4) ta nhận được đẳng thức cần chứng minh.

Quảng cáo

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho biểu thức: $P = (\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) . (\frac{1 + a \sqrt{a}}{1 + \sqrt{a}} - \sqrt{a})$
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm a để $P < 7 - 4 \sqrt{3}$ .

Xem đáp án » 07/01/2021 1,904

Câu 2:

Chứng minh rằng biểu thức sau là hằng số với mọi giá trị x và y.
$P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x y} - y} - \frac{2 \sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x y} - y}) . \frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{{(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}}$

Xem đáp án » 08/01/2021 1,651

Câu 3:

Tính giá trị của biểu thức: $S = \frac{a + 1}{\sqrt{a^{4} + a + 1} - a^{2}}$ , trong đó a là nghiệm dương của phương trình $4 a^{2} + \sqrt{2} a - \sqrt{2} = 0 (1)$

Xem đáp án » 07/01/2021 1,288

Câu 4:

Tìm tất cả các số hữu tỉ x để số $P = \sqrt{x^{2} + 19 x + 93}$ là số hữu tỉ.

Xem đáp án » 08/01/2021 953

Câu 5:

Cho a, b , c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng: $S = \sqrt{\frac{1}{(a - b) {}^{2}} + \frac{1}{(b - c) {}^{2}} + \frac{1}{(c - a) {}^{2}}}$

Xem đáp án » 07/01/2021 824

Câu 6:

Cho biểu thức: $P = (\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3 x + 3}{x - 9}) : (\frac{2 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} - 1)$
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm x để $P < - \frac{1}{2}$ .
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Xem đáp án » 07/01/2021 811

Câu 7:

Giải phương trình: $\frac{2 \sqrt{x} - 7}{3} + \sqrt{x} - \frac{3 \sqrt{x} - 5}{2} = 1.$

Xem đáp án » 08/01/2021 673

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Nâng cấp VIP

ĐỀ THI LIÊN QUAN

Xem thêm »

Giải Sách Bài Tập Toán 9 Tập 1

35 đề 44746 lượt thi Thi thử
Toán 9 Tập 1 - phần Đại số

29 đề 34113 lượt thi Thi thử
Giải Sách Bài Tập Toán 9 Tập 2

35 đề 32558 lượt thi Thi thử
Toán 9 Tập 2 - phần Đại số

29 đề 27340 lượt thi Thi thử
Giải Toán 9 phần Hình học Tập 2

28 đề 26339 lượt thi Thi thử
Giải Toán 9 phần Hình học Tập 1

26 đề 22980 lượt thi Thi thử
19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải

20 đề 20607 lượt thi Thi thử
Bộ Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án

20 đề 17414 lượt thi Thi thử
Bài tập ôn tập chương 3 hình học 9 có đáp án

12 đề 12382 lượt thi Thi thử
Bài tập ôn tập chương 3 đại số 9 có đáp án

8 đề 7889 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Gọi 084 283 45 85

Hỗ trợ đăng ký khóa học tại Vietjack

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=xyz. Chứng minh rằng: 1+y21+z2−1+y2−1+z2yz+1+z21+x2−1+z2−1+x2zx+1+x21+y2−1+x2−1+y2xy=0

Cho biểu thức: P=1−aa1−a+a.1+aa1+a−a1. Rút gọn biểu thức P.2. Tìm a để P<7−43.

Chứng minh rằng biểu thức sau là hằng số với mọi giá trị x và y.P=xxy−y−2x+yxy−y.xy−yxx+y2

Tính giá trị của biểu thức: S=a+1a4+a+1−a2, trong đó a là nghiệm dương của phương trình 4a2+2a−2=0(1)

Tìm tất cả các số hữu tỉ x để số P=x2+19x+93 là số hữu tỉ.

Cho a, b , c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.Chứng minh rằng: S=1a−b2+1b−c2+1c−a2

Cho biểu thức: P=2xx+3+xx−3−3x+3x−9:2x−2x−3−11. Rút gọn biểu thức P.2. Tìm x để P<−12.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Giải phương trình: 2x−73+x−3x−52=1.

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!