Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=xyz. Chứng minh rằng: 1+y21+z2−1+y2−1+z2yz+1+z21+x2−1+z2−1+x2zx+1+x21+y2−1+x2−1+y2xy=0

Đặt a=1x,b=1y,c=1zTa được đẳng thức điều kiện là:1a+1b+1c=aabc⇔bc+ca+ab=1(1)Và khi đó đẳng thức cần chứng minh có dạng:1+b21+c2+1+c21+a2+1+a21+b2=(b+c)1+a2+(c+a)1+b2+(a+b)1+c2Nhận xét rằng:1+a2=bc+ca+a2=(a+b)(a+c)1+b2=bc+ca+ab+b2=b+cb+a1+c2=bc+ca+ab+c2=c+bc+aTừ đó suy ra:1+b21+c2=(b+c)(b+a)(c+a)=(b+c)1+a2(2)Tương tự, ta có:1+c21+a2=(c+a)1+b2(3)1+a21+b2=(a+b)1+c2(4)Cộng theo vế (2), (3),(4) ta nhận được đẳng thức cần chứng minh.

Câu hỏi:

12/07/2024 557

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn $x + y + z = x y z$ .

Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{(1 + y^{2}) (1 + z^{2})} - \sqrt{1 + y^{2}} - \sqrt{1 + z^{2}}}{y z} + \frac{\sqrt{(1 + z^{2}) (1 + x^{2})} - \sqrt{1 + z^{2}} - \sqrt{1 + x^{2}}}{z x} + \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} - \sqrt{1 + x^{2}} - \sqrt{1 + y^{2}}}{x y} = 0$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Bài 8 (có đáp án): Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c = \frac{1}{z}$

Ta được đẳng thức điều kiện là:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{a}{a b c} \Leftrightarrow b c + c a + a b = 1 (1)$

Và khi đó đẳng thức cần chứng minh có dạng:

$\begin{array}{l} \sqrt{(1 + b^{2}) (1 + c^{2})} + \sqrt{(1 + c^{2}) (1 + a^{2})} + \sqrt{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})} \\ = (b + c) \sqrt{1 + a^{2}} + (c + a) \sqrt{1 + b^{2}} + (a + b) \sqrt{1 + c^{2}} \end{array}$

Nhận xét rằng:

$\begin{array}{l} 1 + a^{2} = b c + c a + a^{2} = (a + b) (a + c) \\ 1 + b^{2} = b c + c a + a b + b^{2} = (b + c) (b + a) \\ 1 + c^{2} = b c + c a + a b + c^{2} = (c + b) (c + a) \end{array}$

Từ đó suy ra:

$\begin{array}{l} \sqrt{(1 + b^{2}) (1 + c^{2})} \\ = (b + c) \sqrt{(b + a) (c + a)} \\ = (b + c) \sqrt{1 + a^{2}} (2) \end{array}$

Tương tự, ta có:

$\begin{array}{l} \sqrt{(1 + c^{2}) (1 + a^{2})} = (c + a) \sqrt{1 + b^{2}} (3) \\ \sqrt{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})} = (a + b) \sqrt{1 + c^{2}} (4) \end{array}$

Cộng theo vế (2), (3),(4) ta nhận được đẳng thức cần chứng minh.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho biểu thức: $P = (\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) . (\frac{1 + a \sqrt{a}}{1 + \sqrt{a}} - \sqrt{a})$
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm a để $P < 7 - 4 \sqrt{3}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,742

Câu 2:

Chứng minh rằng biểu thức sau là hằng số với mọi giá trị x và y.
$P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x y} - y} - \frac{2 \sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x y} - y}) . \frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{{(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}}$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,578

Câu 3:

Tính giá trị của biểu thức: $S = \frac{a + 1}{\sqrt{a^{4} + a + 1} - a^{2}}$ , trong đó a là nghiệm dương của phương trình $4 a^{2} + \sqrt{2} a - \sqrt{2} = 0 (1)$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,883

Câu 4:

Cho biểu thức: $P = (\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3 x + 3}{x - 9}) : (\frac{2 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} - 1)$
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm x để $P < - \frac{1}{2}$ .
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,713

Câu 5:

Giải phương trình: $\frac{2 \sqrt{x} - 7}{3} + \sqrt{x} - \frac{3 \sqrt{x} - 5}{2} = 1.$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,324

Câu 6:

Cho a, b , c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng: $S = \sqrt{\frac{1}{(a - b) {}^{2}} + \frac{1}{(b - c) {}^{2}} + \frac{1}{(c - a) {}^{2}}}$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,271

Câu 7:

Giải phương trình $(\sqrt{x} - 3) (4 - \sqrt{x}) = 9 - x$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,248

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=xyz. Chứng minh rằng: 1+y21+z2−1+y2−1+z2yz+1+z21+x2−1+z2−1+x2zx+1+x21+y2−1+x2−1+y2xy=0

Nhà sách VIETJACK:

Cho biểu thức: P=1−aa1−a+a.1+aa1+a−a1. Rút gọn biểu thức P.2. Tìm a để P<7−43.

Chứng minh rằng biểu thức sau là hằng số với mọi giá trị x và y.P=xxy−y−2x+yxy−y.xy−yxx+y2

Tính giá trị của biểu thức: S=a+1a4+a+1−a2, trong đó a là nghiệm dương của phương trình 4a2+2a−2=0(1)

Cho biểu thức: P=2xx+3+xx−3−3x+3x−9:2x−2x−3−11. Rút gọn biểu thức P.2. Tìm x để P<−12.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Giải phương trình: 2x−73+x−3x−52=1.

Cho a, b , c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.Chứng minh rằng: S=1a−b2+1b−c2+1c−a2

Giải phương trình x−34−x=9−x

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho biểu thức: $P = (\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) . (\frac{1 + a \sqrt{a}}{1 + \sqrt{a}} - \sqrt{a})$
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm a để $P < 7 - 4 \sqrt{3}$ .

Chứng minh rằng biểu thức sau là hằng số với mọi giá trị x và y.
$P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x y} - y} - \frac{2 \sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x y} - y}) . \frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{{(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}}$

Tính giá trị của biểu thức: $S = \frac{a + 1}{\sqrt{a^{4} + a + 1} - a^{2}}$ , trong đó a là nghiệm dương của phương trình $4 a^{2} + \sqrt{2} a - \sqrt{2} = 0 (1)$

Cho biểu thức: $P = (\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3 x + 3}{x - 9}) : (\frac{2 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} - 1)$
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm x để $P < - \frac{1}{2}$ .
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Giải phương trình: $\frac{2 \sqrt{x} - 7}{3} + \sqrt{x} - \frac{3 \sqrt{x} - 5}{2} = 1.$

Cho a, b , c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng: $S = \sqrt{\frac{1}{(a - b) {}^{2}} + \frac{1}{(b - c) {}^{2}} + \frac{1}{(c - a) {}^{2}}}$

Giải phương trình $(\sqrt{x} - 3) (4 - \sqrt{x}) = 9 - x$