Bài tập Toán 9 Bài 4 (có đáp án): Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

❶ Vì (d) song song với $\left(∆\right)$ nên ta có phương trình: $\left(d\right):y=-3x+b$

Vì $M(1;3)$ thuộc (d) nên $3=-3.1+b\iff b=6$.

Vậy phương trình đường thẳng $\left(d\right):y=-3x+6$.

❷ Vẽ đồ thị của (d), ta lựa chọn hai điểm $A(0;6),B(2;0)$ thuộc (d)

Nối A và B ta được đồ thị của (d)

Đường thẳng (d) song song với đường thẳng $\left(\Delta \right)$ nên có phương trình $\left(d\right):y=-x+b$

❶ Vì $M(1;-2)\in d$ nên $-2=-1.1+b\iff b=-1$

Vậy phương trình đường thẳng $\left(d\right):y=-x-1$

❷ Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của (d) với trục tọa độ Ox, Oy, ta được:

• Với điểm A, $x=0\Rightarrow y=0+b=b$, do đó điểm A có tọa độ $\left(0;b\right)$.
• Với điểm B, $y=0\Rightarrow 0=-x+b\Rightarrow x=b$, do đó điểm B có tọa độ $\left(b;0\right)$.

Diện tích $\Delta AOB$ được tính bởi công thức:

$S_{\Delta AOB}=\frac{1}{2}.OA.OB\iff 8=\frac{1}{2}.\left|b\right|.\left|b\right|\iff 8=\frac{b^2}{2}\iff b^2=16\iff b=\pm 4$

Khi đó:

• Với b = 4, ta được đường thẳng $\left(d_1\right):y=-x+4$
• Với b = -4 ta được đường thẳng $\left(d_2\right):y=-x-4$

Vậy tồn tại hai đường thẳng $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài

❸ Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của (d) với các trục tọa độ Ox, Oy, ta được:

• Với điểm A, $x=0\Rightarrow y=0+b=b$, do đó điểm A có tọa độ $\left(0;b\right)$
• Với điểm B, $y=0\Rightarrow 0=-x+b\Rightarrow x=b$, do đó điểm B có tọa độ $\left(b;0\right)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d).

Trong $\Delta OAB$ vuông tại O , ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}\\ \iff OH=\frac{OA.OB}{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}}\\ \iff 9\sqrt{2}=\frac{\left|b\right|.\left|-b\right|}{\sqrt{b^2+{\left(-b\right)}^2}}=\frac{\left|b\right|}{\sqrt{2}}\\ \iff \left|b\right|=18\\ \iff b=\pm 18\end{array}$

Khi đó:

• Với b = 18, ta được đường thẳng $\left(d_3\right)$ :$y=-x+18$ 
• Với b = -18, ta được đường thẳng $\left(d_4\right)$: $y=-x-18$

Vậy tồn tại hai đường thẳng $\left(d_3\right)$ và $\left(d_4\right)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

❶ Ta có :

$\left(d_1\right):y=-x-1$

$\left(d_2\right):y=-x-\frac{3}{2}$

Suy ra $\left(d_1\right)\left|\right|\left(d_2\right)$ vì $a=a^{\text{'}}$ và $b\ne b^{\text{'}}$.

❷ Ta có:

$\left(d_1\right):y=3x+1$

$\left(d_2\right):y=4x+1$

Suy ra $\left(d_1\right)$ cắt $\left(d_2\right)$ vì $a\ne a^{\text{'}}$

❸ Ta có:

$\left(d_1\right):y=\frac{-1}{2}x-\frac{1}{2}$

$\left(d_2\right):y=\frac{-1}{4}x-\frac{3}{4}$

Suy ra $\left(d_1\right)$ cắt $\left(d_2\right)$ vì $a\ne a^{\text{'}}$

❹  Ta có:

Suy ra $\left(d_1\right)$ trùng $\left(d_2\right)$ vì $a=a^{\text{'}}$ và $b=b^{\text{'}}$

❶ Nhận xét rằng:

• Đường thẳng $\left(d_1\right)$ có $a_1=2$ và $b_1=-1$
• Đường thẳng $\left(d_2\right)$ có $a_2=-1$ và $b_2=2$

Suy ra $a_1\ne a_2$ và $b_1\ne b_2$ => $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$ cắt nhau tại điểm I.

Giả sử giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ $I(x_0;y_0)$, khi đó:

• Vì I thuộc $\left(d_1\right)$ nên $y_0=2x_0-1\left(1\right)$
• Vì I thuộc $\left(d_2\right)$ nên $y_0=-x_0+2\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $2x_0-1=-x_0+2\iff x_0=1\Rightarrow y_0=1$.

❷ Đường thẳng $\left(d^{\text{'}}\right)$ song song với đường thẳng $y=5x+7$, có phương trình $\left(d^{\text{'}}\right)$: $y=5x+b$ với $b\ne 7$.

Vì I thuộc đường thẳng $\left(d^{\text{'}}\right)$ nên $1=5.1+b\Rightarrow b=-4$

Vậy phương trình đường thẳng $\left(d^{\text{'}}\right)$: $y=5x-4$

❶ Giả sử $\left(d_1\right)$ đi qua điểm cố định $M(x_0;y_0)$, khi đó $y_0=k{x}_0+k$ với mọi k.

$\begin{array}{l}k(x_0+1)-y_0=0\forall k\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0+1=0\\ y_0=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0=-1\\ y_0=0\end{array}\right.\end{array}$

Vậy đường thẳng $\left(d_1\right)$ luôn đi qua một điểm cố định $M(-1;0)$.

❷ Giao điểm I có tọa độ $\left(\frac{1-k^2}{1+k^2};\frac{2k}{1+k^2}\right)$

Xác định giao điểm của hai đường thẳng $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$ là $A(1;5)$

Để ba đường thẳng đồng quy thì $\left(d_3\right)$ đi qua A.

Thay tọa độ của A vào phương trình đường thẳng $\left(d_3\right)$ ta được:

$\begin{array}{l}5=a.1+a+3=2a+3\\ \iff a=1\end{array}$