Cho đường thẳng $\left(\Delta \right):y=-x+2$. Lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng $\left(\Delta \right)$ và

❶ Đi qua điểm $M(1;-2)$.

❷ Chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.

❸ Khoảng cách từ O đến (d) bằng $9\sqrt{2}$

Đường thẳng (d) song song với đường thẳng $\left(\Delta \right)$ nên có phương trình $\left(d\right):y=-x+b$

❶ Vì $M(1;-2)\in d$ nên $-2=-1.1+b\iff b=-1$

Vậy phương trình đường thẳng $\left(d\right):y=-x-1$

❷ Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của (d) với trục tọa độ Ox, Oy, ta được:

• Với điểm A, $x=0\Rightarrow y=0+b=b$, do đó điểm A có tọa độ $\left(0;b\right)$.
• Với điểm B, $y=0\Rightarrow 0=-x+b\Rightarrow x=b$, do đó điểm B có tọa độ $\left(b;0\right)$.

Diện tích $\Delta AOB$ được tính bởi công thức:

$S_{\Delta AOB}=\frac{1}{2}.OA.OB\iff 8=\frac{1}{2}.\left|b\right|.\left|b\right|\iff 8=\frac{b^2}{2}\iff b^2=16\iff b=\pm 4$

Khi đó:

• Với b = 4, ta được đường thẳng $\left(d_1\right):y=-x+4$
• Với b = -4 ta được đường thẳng $\left(d_2\right):y=-x-4$

Vậy tồn tại hai đường thẳng $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài

❸ Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của (d) với các trục tọa độ Ox, Oy, ta được:

• Với điểm A, $x=0\Rightarrow y=0+b=b$, do đó điểm A có tọa độ $\left(0;b\right)$
• Với điểm B, $y=0\Rightarrow 0=-x+b\Rightarrow x=b$, do đó điểm B có tọa độ $\left(b;0\right)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d).

Trong $\Delta OAB$ vuông tại O , ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}\\ \iff OH=\frac{OA.OB}{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}}\\ \iff 9\sqrt{2}=\frac{\left|b\right|.\left|-b\right|}{\sqrt{b^2+{\left(-b\right)}^2}}=\frac{\left|b\right|}{\sqrt{2}}\\ \iff \left|b\right|=18\\ \iff b=\pm 18\end{array}$

Khi đó:

• Với b = 18, ta được đường thẳng $\left(d_3\right)$ :$y=-x+18$ 
• Với b = -18, ta được đường thẳng $\left(d_4\right)$: $y=-x-18$

Vậy tồn tại hai đường thẳng $\left(d_3\right)$ và $\left(d_4\right)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.