Bài tập Tình diện tích mặt ngoài, thể tích của hình hỗn hợp có liên quan hình cầu lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Từ đề bài, ta có chiều cao hình trụ là h = 3R với R là bán kính của hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ

Thể tích hình cầu V_C = \[\frac{4}{3}\pi {R^3}\].

Thể tích hình trụ V_T = πR².3R = 3πR³.

Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là \[\frac{{{V_C}}}{{{V_T}}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{{3\pi {R^3}}} = \frac{4}{9}\].

Đáp án đúng là: D

Gọi R = 2,7 cm là bán kính của viên bi. Ta có bán kính phần trong đáy cốc là 3R.

Thể tích nước ban đầu là: V₁ = π(2R)².4,5 = 18πR².

Thể tích viên bi là V₂ = \[\frac{4}{3}\pi {R^3}\].

Thể tích nước sau khi thả viên bi là: V = V₁ + V₂ = 18πR² + \[\frac{4}{3}\pi {R^3}\] = 2πR²\[\left( {\frac{2}{3}R + 9} \right)\].

Gọi h là chiều cao mực nước sau khi thả viên bi vào.

Ta có: V = 2πR²\[\left( {\frac{2}{3}R + 9} \right)\] = π(2R)².h

Suy ra h = 2πR²\[\frac{{2\pi {R^2}\left( {\frac{2}{3}R + 9} \right)}}{{\pi .{{\left( {2R} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {\frac{2}{3}R + 9} \right)}}{2} = \frac{{\left( {\frac{2}{3}.2,7 + 9} \right)}}{2} = 5,4\] (cm).

Đáp án đúng là: A

Gọi R là bán kính mặt cầu, r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.

Theo bài, ta có: h = 2R và r = \[\sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\].

Ta có: V₁ = \[\frac{4}{3}\pi {R^3}\]; V₂ = πr²h = π. \[\frac{3}{4}{R^2}\].2R = \[\frac{3}{2}\pi {R^3}\].

Do đó, \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{{\frac{3}{2}\pi {R^3}}} = \frac{8}{9}\].

Đáp án đúng là: D

Xét hình nón và quả cầu như hình vẽ bên dưới.

Từ đề bài, ta có hình mình họa với O là tâm đường tròn giới hạn bởi mặt quả cầu và bề mặt trong hình nón; K là giao của mặt cắt tâm (O) với phần hình chóp, I là tâm mặt cầu và S là đỉnh của hình chóp.

Xét ∆KIS và ∆OIK, có:

\[\widehat {IKS} = \widehat {IOK} = 90^\circ \] và \[\widehat {OIK} = \widehat {SIK}\]

Do đó, ∆KIS ᔕ ∆OIK nên \[\frac{{IK}}{{OI}} = \frac{{{\rm{IS}}}}{{IK}}\] hay OI = \[\frac{{{\rm{I}}{{\rm{K}}^2}}}{{SI}}\] = \[\frac{{{3^2}}}{5} = \frac{9}{5}\] (cm).

Thể tích của chỏm cầu tâm I bán kính OK là:

V₂ = \[\pi {\left( {IK - OI} \right)^2}.\left( {IK - \frac{{IK - OI}}{3}} \right) = \pi .{\left( {3 - \frac{9}{5}} \right)^2}.\left( {3 - \frac{{3 - \frac{9}{5}}}{3}} \right) = \frac{{468}}{{125}}\pi \] (cm³).

Thể tích hình nón có đỉnh S, đáy hình tròn tâm O, bán kính đáy OK là:

V₁ = \[\frac{1}{3}.SO.{S_{\left( {O;OK} \right)}} = \frac{1}{3}.\left( {5 - \frac{9}{5}} \right).{\left( {\frac{{12}}{5}} \right)^2} = \frac{{768\pi }}{{125}}\] (cm³).

Thể tích phần không gian kín giỏi hạn bởi mặt cầu và bề mặt trong của vật hình nón là:

V₁ – V₂ = \[\frac{{768\pi }}{{125}} - \frac{{468\pi }}{{125}} = \frac{{12\pi }}{5}\] (cm³).

Đáp án đúng là: A

Hai nửa khối cầu ghép lại ta được một khối cầu có bán kính bằng 1.

Do đó, thể tích phần gỗ bị khoét là: \[\frac{4}{3}\pi {.1^3} = \frac{4}{3}\pi \].

Thể tích khối gỗ hình trụ ban đầu là: πr²h = 2π.

Do đó, thể tích còn lại của khối gỗ là: 2π − \[\frac{4}{3}\pi = \frac{1}{3}\pi \].

Suy ra tỉ số thể tích phần còn lại của khối gỗ so với với khối gỗ ban đầu là: \[\frac{{\frac{1}{3}\pi }}{{2\pi }} = \frac{1}{6}\].

Đáp án đúng là: D

Bán kính của viên bi là: R = \[\frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1\] cm.

Thể tích của một viên bi là: V₁ = \[\frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {.1^3} = \frac{4}{3}\pi \] (cm³).

Do ba viên bi có cùng đường kính nên tổng thể tích của ba viên bi là:

V = 3V₁ = 3. \[\frac{4}{3}\pi {.1^3}\] = 4π (cm³).

Diện tích của đáy cốc nước (hình tròn r = 3 cm) là:

S = π.r² = π.3² = 9π (cm²).

Chiều cao của phần cốc không chứa nước là: 12 – 10 = 2 (cm).

Thể tích phần cốc không chứa nước (cốc hình trụ, diện tích phần đáy cũng là diện tích phần mặt phân cách giữa phần có nước và phần không có nước).

V' = S.h = 9π.2 = 18π (cm³).

Do thể tích phần cốc không chứa nước lớn hơn thể tích ba viên nên khi thả ba viên bi vào cốc thì nước không bị tràn ra ngoài.

Gọi x là chiều cao mực nước dâng lên sau khi thả 3 viên bi vào cốc, thể tích của 3 viên bi cũng là thể tích phần nước dâng lên ta có:

V = S.x hay 9π.x = 4π nên x = \[\frac{4}{9}\] cm.

Vậy chiều cao của mực nước trong ống sau khi thả 3 viên bi là: 10 + \[\frac{4}{9}\] = \[\frac{{94}}{9}\] cm.